¿Por qué son tan valiosas las pruebas, aunque no sepamos si nuestro sistema de axiomas es coherente?

Question

Como persona que ha dedicado mucho tiempo a aprender matemáticas, tengo que admitir que a veces me resulta muy molesto el hecho descubierto por Godel: nunca podemos saber que nuestro sistema de axiomas es consistente. La consistencia de ZFC sólo puede demostrarse en un sistema mayor, cuya consistencia se desconoce.

Eso significa que las pruebas no son como yo solía creer: un certificado de que no se puede encontrar un contraejemplo para una afirmación. Por ejemplo, a pesar de la prueba de Wiles, es concebible que algún día a alguien se le ocurran números enteros a,b y c y n>2 tales que a^n + b^n = c^n, lo que significaría que nuestro sistema de axiomas resulta ser inconsistente.

Me gustaría conocer las razones por las que, a pesar del thoerem de Godel, los matemáticos (o usted) piensan que las pruebas siguen siendo muy valiosas. ¿Por qué se preocupan cada día menos por el teorema de Godel (edito: o lo hacen)?

También agradecería referencias escritas para no expertos que aborden esta cuestión.

Answer 1

Si lo desea, puede ver las pruebas de una afirmación en algún sistema formal (por ejemplo, ZFC) como un certificado de que no se puede encontrar un contraejemplo sin demostrar la inconsistencia de ZFC, lo que sería un acontecimiento matemático importante, y probablemente uno de mucha mayor importancia que si la afirmación dada es verdadera o falsa.

En la práctica, una prueba dada no va a estar estrechamente ligada a un único sistema formal como ZFC, sino que será lo suficientemente robusta como para que pueda seguirse de cualquier número de conjuntos razonables de axiomas, incluyendo aquellos mucho más débiles que ZFC. Sólo uno de estos conjuntos de axiomas tiene que ser consistente para garantizar que no se encuentre ningún contraejemplo, y esto es lo más parecido a una garantía férrea que se puede esperar.

Pero, a fin de cuentas, los matemáticos no buscan pruebas, a pesar de las apariencias. comprender . Este tema se trata muy bien en el artículo de Thurston " Sobre la prueba y el progreso en matemáticas ".

Answer 2

Los teoremas de Gödel no dicen que nunca podamos saber si nuestros sistemas de axiomas son consistentes. En absoluto. Lo que dicen es que nunca podremos demostrar que ciertos sistemas son consistentes dentro de esos mismos sistemas. Esto deja abierta la posibilidad de que podamos demostrar su consistencia en otros sistemas de axiomas, o de que podamos convencernos de su consistencia por métodos que no sean completamente formales.

Mi referencia recomendada sobre los teoremas de incompletitud para un lector general es "Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse", de Torkel Franzén. Este libro tiene la rara combinación de estar escrito para ser ampliamente accesible y, al mismo tiempo, ser lo suficientemente preciso como para resultar satisfactorio.

Answer 3

Para abordar la cuestión del Último Teorema de Fermat: el razonamiento que subyace al Último Teorema de Fermat, aunque elaborado, al final se basa en una intuición básica sobre los números enteros. (No estoy seguro de que se demuestre realmente en aritmética de Peano de primer orden, ya que la demostración tal como está escrita utiliza ciertamente conceptos ajenos a la AP, pero no obstante, es básicamente un resultado sobre los números, demostrado usando nuestras nociones fundamentales sobre números).

Si la prueba fuera correcta, pero la afirmación errónea (debido a una incoherencia), habría algo fundamentalmente erróneo en nuestra concepción de los números. No creo que fuera como la crisis de la teoría de conjuntos: sería mucho más fundamental. Por ejemplo, si la inducción resulta ser inconsistente (y este es el tipo de cosas sobre las que se especula aquí), esto dice que nuestra intuición básica para los números naturales, a saber, que los subconjuntos no vacíos tienen menos elementos, es errónea. Si eso es cierto, ¡todas las matemáticas se van al garete!

Creo que la mayoría de los matemáticos (de hecho, la mayoría de los humanos a los que se ha enseñado aritmética) tienen un modelo mental de los números naturales que dice que siempre se puede sumar 1 para obtener un nuevo número, y que entre dos números naturales cualesquiera sólo hay finitamente muchos más (de modo que cualquier subconjunto no vacío de los naturales tiene un elemento menor). Por tanto, saben que PA es consistente, aunque PA no lo demuestre. Lo demuestran exhibiendo un modelo (mental); no necesitan argumentos formales. (Esto entra dentro de la clase de métodos "no completamente formales" a los que alude Carl Mummert).

Answer 4

Para responder a la pregunta planteada:

Una demostración es valiosa porque ayuda a convencerse a uno mismo y a los demás de la validez de ese resultado a partir de los axiomas [tanto si esos axiomas son consistentes como si no]. Los matemáticos, creo, no son preocupado que los axiomas son inconsistentes, sino más bien esperanza que sean consistentes; o incluso más precisamente, optimista de que si los axiomas son inconsistentes pueden ser modificados [si es necesario] para ser consistentes y todavía abarcar la mayoría de las cosas probadas. Pero incluso si son inconsistentes, no lo averiguaremos sin muchas, muchas pruebas mientras tanto.

Para responder a la pregunta filosófica desde un punto de vista personal:

Desde mi punto de vista, hago matemáticas porque amo la certeza y la verdad. También me gusta descubrir. Los teoremas de Godel simplemente me dicen que hay cosas de las que nunca estaré seguro ni descubriré (dentro de un sistema formal). Esto puede ser decepcionante, pero a cierto nivel todos tenemos que lidiar con la incertidumbre. Por ejemplo, podría estar engañándome a mí mismo al escribir este mensaje. Pero yo (y la mayoría de las personas que conozco) estamos dispuestos a aceptar algunas cosas por fe; y si se demuestra que estamos equivocados, modificamos nuestras creencias en consecuencia.

Answer 5

Adoptamos axiomas no porque podamos demostrar su consistencia, sino porque creemos que describen con precisión algo que queremos estudiar. Una demostración a partir de estos axiomas tendrá valor en la medida en que muestre cómo la proposición (que puede ser sorprendente o complicada) se deduce de cosas que ya creemos y que son sencillas. Si algún día demostramos una incoherencia utilizando un conjunto dado de axiomas, esto demuestra que nuestra intuición, posiblemente ingenua, de axiomas razonables era incorrecta. (Por ejemplo, la paradoja de Russel demuestra que la comprensión irrestricta es una mala idea).