¿Puede reordenarse una serie de vectores condicionalmente convergente para dar cualquier límite?

Question

Calentamiento (probablemente lo hayas visto antes)

Supongamos que $\sum_{n\ge 1} a_n$ es una serie condicionalmente convergente de números reales, entonces reordenando los términos, se puede hacer que "la misma serie" converja a cualquier número real $x$ . Para ello $P=\{n\ge 1\mid a_n\ge 0\}$ y $N=\{n\ge 1\mid a_n<0\}$ . Desde $\sum_{n\ge 1} a_n$ converge condicionalmente, cada una de $\sum_{n\in P}a_n$ y $\sum_{n\in N}a_n$ divergen y $\lim a_n=0$ .

Empezando por la suma vacía (es decir, cero), construye el reordenamiento inductivamente. Supongamos que $\sum_{i=1}^m a_{n_i}=x_m$ es el (construido inductivamente) $m$ -ésima suma parcial del reordenamiento. Si $x_m\le x$ Toma $n_{m+1}$ sea el elemento más pequeño de $P$ que aún no se haya utilizado. Si $x_m> x$ Toma $n_{m+1}$ sea el elemento más pequeño de $N$ que aún no se haya utilizado.

Desde $\sum_{n\in P}a_n$ diverge, habrá infinitas $m$ para lo cual $x_m\ge x$ Así que $n_{m+1}$ estará en $N$ infinitamente a menudo. Similarmente, $n_{m+1}$ estará en $P$ infinitamente a menudo, por lo que realmente hemos construido una reordenación de la serie original. Nótese que $|x-x_m|\le \max\{|a_n|\bigm| n\not\in\{n_1,\dots, n_m\}\}$ Así que $\lim x_m=x$ porque $\lim a_n=0$ .

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Supongamos que $\sum_{n\ge 1}v_n$ es una serie condicionalmente convergente con $v_n\in \mathbb R^k$ . ¿Se puede reordenar la suma para que converja a cualquier $w\in \mathbb R^k$ ?

¡Claro que no! Si $\lambda$ es una función lineal sobre $\mathbb R^k$ tal que $\sum \lambda(v_n)$ converge absolutamente, entonces $\lambda$ aplicado a cualquier reordenación será igual a $\sum \lambda(v_n)$ . Supongamos también que $\sum \lambda(v_n)$ es condicionalmente convergente para todo funcional lineal distinto de cero $\lambda$ . Con esta hipótesis adicional, estoy bastante seguro de que la respuesta debería ser "sí".

Answer 1

El teorema de Levy--Steinitz dice que el conjunto de todos los reordenamientos convergentes de una serie de vectores, si no es vacío, es un subespacio afín de ${\mathbf R}^k$ . Hay un artículo sobre este tema de Peter Rosenthal en la revista Amer. Math. Monthly de 1987, titulado "The Remarkable Theorem of Levy and Steinitz". Véase también Remmert's Theory of Complex Functions, pp. 30--31.

Por ejemplo $k = 2$ Supongamos $v_n = ((-1)^{n-1}/n,(-1)^{n-1}/n)$ . Entonces los reordenamientos convergentes llenan la línea $y = x$ . La función lineal $\lambda(x,y) = x-y$ por supuesto acaba con la serie, lo que hace explícita la observación de Anton en este caso.

El artículo de Rosenthal, al final, analiza la pregunta de Anton. En efecto, si no hay convergencia absoluta en ninguna dirección, entonces el conjunto de todas las series reordenadas es el conjunto de ${\mathbf R}^k$ . Nótese por el ejemplo anterior que esta condición es más fuerte que decir que la serie en cada coordenada estándar es condicionalmente convergente. Rosenthal dijo que esta forma más fuerte del teorema de Levy-Steinitz estaba en los trabajos de Levy (1905) y Steinitz (1913). También hace referencia a I. Halperin, Sums of a Series Permitting Rearrangements, C. R. Math Rep. Acad. Sci. Canada VIII (1986), 87--102.

Answer 2

Discuto (con referencias, pero sin pruebas) el Teorema Levy-Steinitz en la Sección 2 del siguiente documento:

http://alpha.math.uga.edu/~pete/UGAVIGRE08.pdf

En particular, la versión que doy describe con precisión el conjunto de límites de reordenamientos convergentes en términos del subespacio de direcciones de convergencia absoluta de la serie. Como caso especial, si ninguna proyección unidimensional es absolutamente convergente, entonces sí se puede reordenar la serie para que converja a cualquier vector en $\mathbb{R}^n$ .

Answer 3

A una serie condicionalmente convergente $\sum_{n\geq 1}v_n$ en $\mathbb{R}^d$ se pueden adjuntar los llamados funcionales de convergencia $f$ que son funcionales lineales $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ con la propiedad $\sum_{n=1}^{\infty}|f(v_n)|<\infty$ . Sea $\Gamma ((v_n))$ sea el conjunto de todos estos funcionales. Entonces el conjunto de valores de los posibles reordenamientos de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}v_n$ es exactamente el espacio afín $\sum_{n=0}^{\infty}v_n + \Gamma ((v_n))_0$ donde $\Gamma ((v_n))_0$ denota el aniquilador de $\Gamma ((v_n))$ es decir $\bigcap_{f\in\Gamma ((v_n))}\mathrm{ker}(f)$ . Éste es precisamente el Teorema de Steinitz` mencionado por KConrad. Permítanme añadir que este resultado no es válido en general para espacios de dimensión infinita. Sin embargo, una generalización del teorema de Steinitz parece muy abordable para espacios localmente convexos -> véase, por ejemplo, "The Steinitz theorem on rearrangement of series for nuclear spaces" de W. Banaszczyk (1990), en Journal für die reine und angewandte Mathematik 403, 187-200.

EDIT: añadido la condición en $v_n$ según el comentario de KConrad.

Answer 4

Una forma de pensar en esto es tener un vector cuyo $x$ -es condicionalmente convergente y cuya $y$ -es absolutamente convergente. Entonces la respuesta es obviamente "no".

A continuación, cambiar a una base diferente y hacer lo mismo, y pasar a dimensiones más altas, y luego ver rápidamente que usted puede tener un espacio afín a algún punto de que cada reordenamiento converge, pero a cualquier punto de que algún reordenamiento converge.