¿Existe una función que sólo tenga límite dado $a_1,a_2...a_n....$ infinitos puntos.

Question

Encuentre un función que sólo tiene límite en los puntos marcados avanzados $(a_1,a_2,....a_n)$ .

Este es mi ejemplo.

$g(x) = \begin{cases} 1, & \text{if}~x\in\mathbb{Q} \\ 0, & \text{if}~x\in\Bbb{R}\backslash \Bbb{Q} \end{cases}$

$f(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)g(x)$

Pero el problema que no puedo resolver es que, ¿hay una función que tiene límite sólo en avanzada dado $a_1,a_2...a_n....$ infinitos puntos.

Answer 1

Una forma equivalente de plantear esta pregunta es si existe una función que sea continuo sólo en una secuencia determinada.

Tal función puede no existir, por ejemplo cuando su secuencia es densa en $\mathbb{R}$ (por ejemplo $\mathbb{Q}$ ). Dado que el conjunto de puntos de continuidad debe ser un $G_\delta$ (y, por tanto, no puede ser denso y contable).

Por otra parte, si su secuencia no tiene puntos límite, entonces uno puede construir fácilmente tal función dividiendo $\mathbb{R}$ en intervalos, cada uno de los cuales contiene un único elemento de la secuencia, y luego definir la función en cada intervalo para que sea continua sólo en ese elemento (por ejemplo, como sugieres en tu pregunta).

Answer 2

Si he entendido bien su afirmación, entonces, como se ha dicho, esto no es posible. Necesita alguna hipótesis más sobre la secuencia $(a_n)$ .

De lo contrario, tome $a_n$ sea una enumeración de los racionales. Si $f$ satisface su condición entonces asignando en cada $a_n$ el valor límite a $f(a_n)$ se obtiene una función continua en los racionales y discontinua en los irracionales. Esto no es posible por Teorema de la categoría de Baire .

Cuando la secuencia no tiene acumulación hay varias posibilidades. Por ejemplo, puede utilizar el método de Weierstrass Teorema de factorización que establece que dada cualquier secuencia $(a_n)_{n\geq 1}$ de números complejos, con $|a_n|\to \infty$ hay un función entera $h(z)$ cuyos ceros son exactamente los elementos de la secuencia (véase, por ejemplo, el enlace). Entonces su argumento tomando su $g$ y $f(z)=h(z)g(z)$ sigue adelante. ¿Pero esto puede violar su requisito de "no usar series"?

Answer 3

Supongamos que existe una biyección que preserva el orden entre $a_n$ y N. Defina $$ f(x)=\frac{1}{n}, \quad x \in[a_n, a_{n+1}). $$

Entonces la función es discontinua en cada $a_n$ pero tiene un límite derecho como $x \to a_n$ . Si, por el contrario, desea límites de doble cara entonces tome un pequeño $\delta$ y modificar como $f(x)=\frac{1}{n}$ para x $\in(a_n-\delta, a_{n}+\delta)$ y $f(x)=i$ inbeween (imaginario). Pero en este caso, se sale de los números reales. Desde la perspectiva de los números reales, la función es indefinida entre los intervalos.