Determinar todos $z \in\Bbb C$ tal que $z^8 + 3iz^4 + 4 = 0$

Question

Tratando de estudiar para mi final, y surgió esta pregunta.

Cualquier sugerencia sobre cómo empezar sería muy apreciada.

-edit-

gracias a todos por vuestra ayuda. Ni en un millón de años se me habría ocurrido. Voy a publicar la respuesta sólo para que cualquiera que busque esto puede encontrarlo.

deje $w = z^4$
Ahora sí: $w^2 +3iw + 4 = 0$
Que se convierte en: $(w-i)(w+4i)$
Lo que nos da $w-i = 0$ y $w+4i = 0$
Así que $w=i$ o $w=-4i$
Desde $w = z^4$ tomamos $\sqrt[4]{w} = z$
Así que tenemos que calcular las cuatro raíces de cada factor encontrado
Comience con $w = i$ que en forma polar es $1(cos(90)+isin(90))$
El teorema de la raíz compleja es: $\sqrt[n]{r}(cos(\cfrac{ \theta + 2k\pi}{n}) + isin(\cfrac{ \theta + 2k\pi}{n}))$ para $k = 0,1,2,...,n-1$
Usando ese teorema, podemos obtener las raíces correctas.

Answer 1

Pista: es una cuadrática en $z^4$ .

Answer 2

Sustituir $w = z^4$ . Usted obtiene $w^2 + 3i w + 4 = 0$ que es una ecuación cuadrática que puedes resolver.

Answer 3

Esta es una buena pregunta. Observe que si reetiquetamos $z^4$ como $w$ entonces tenemos:

$$z^8 +3iz^4+4 \equiv w^2+3iw + 4$$

Podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver $w^2+3iw+4=0$ donde $a=1$ , $b=3i$ y $c=4$ .

\begin{array}{ccc} w &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \frac{-3i\pm\sqrt{-9-16}}{2} \\ &=& \frac{-3i \pm 5i}{2} \\ &=& -4i \ \text{ or } \ i \end{array}

Desde $w^2+3iw+4=0 \iff w \in \{-4i,i\}$ y $w = z^4$ tendrás que resolver $z^4=i$ y $z^4=-4i$ . En primer lugar, consideremos el caso $z^4=i$ . Sabemos que $i = \operatorname{e}^{i(\pi/2+2\pi n)}$ por lo tanto:

\begin{array} zz &=& i^{1/4} \\ &=& \operatorname{e}^{i(\pi/8+\pi n/2)} \\ &=& \operatorname{e}^{5i/8}, \ \ \operatorname{e}^{9i/8}, \ \ \operatorname{e}^{13i/8}, \ \ \operatorname{e}^{9i/4}. \end{array}

Ahora haz lo mismo para resolver $z^4 = - 4i$ .