Pregunta sobre una sustitución en una integral

Question

Así que estudiando integrales por poco tiempo encontré este ejemplo de ecuación. Va de la siguiente manera:

$\int_{-r}^r \! \sqrt{r^2-y^2} \, \mathrm{d}y. \stackrel{y=rz}{=} \int_{-1}^1 \! r^2 \sqrt{1-z^2} \, \mathrm{d}z. $

Si lo entiendo bien $y$ se ha sustituido por $rz$ . ¿Por qué podría hacerse esta sustitución y por qué podría $r^2$ extraerse de la raíz y no sólo $r$ ? Creo que me estoy perdiendo algo más grande aquí, pero simplemente no lo entiendo.

Si necesitas más contexto para esta ecuación, mándame un mensaje.

Answer 1

$r$ y se multiplica por $dy=rdz $

Answer 2

Por pura sustitución textual, y luego reelaboración,

$$\int_{y=-r}^r \! \sqrt{r^2-y^2} \, \mathrm{d}y \stackrel{y=rz}{=} \int_{rz=-r}^r \!\sqrt{r^2-(rz)^2} \, \mathrm{d}(rz){=} \int_{z=-1}^1 \!r\sqrt{1-z^2} \, r\mathrm{d}z,$$ de ahí la reclamación.