Ejemplo de suma de campos vectoriales completos

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo de dos campos vectoriales $X_1$ y $X_2$ que están completos pero su suma $X_1+X_2$ no está completo?

Answer 1

Sea $M = \mathbb{R}$ , $X_1 = (\sin^2{x}) x^2 \frac{\partial}{\partial x}$ y $X_2 = (\cos^2{x}) x^2 \frac{\partial}{\partial x}$ . Entonces $X_i$ están completos pero $X_1 + X_2 = x^2 \frac{\partial}{\partial x}$ que no está completo.

¿Por qué $X_1$ ¿completo? Si $\alpha \colon I \rightarrow \mathbb{R}$ es una curva integral de $X_1$ satisfaciendo $\alpha(0) = t$ para algunos $t \in \mathbb{R}$ entonces $\alpha \equiv 0$ (si $t = \pi k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ ) o $\alpha(I) \subset (\pi k, \pi (k + 1))$ (si $\pi k < t < \pi (k + 1)$ para $k \in \mathbb{Z}$ ) que implican que $I = \mathbb{R}$ . Del mismo modo para $X_2$ .

Answer 2

Consideremos los campos vectoriales completos $X = y^2 \frac{\partial}{\partial x}$ y $Y = x^2 \frac{\partial}{\partial y}$ definido en $\mathbb R^2$ . Tenemos que $X + Y $ no está completa. Para ver que basta con encontrar la solución de $$\begin{cases}\frac{dx}{dt} = y^2 \\ \frac{dy}{dt} = x^2\end{cases}$$ cuando $(c,c)$ avanza $x = y$ .