He encontrado un enfoque elemental que parece funcionar para demostrar que la conjetura de Catalán es cierta para determinados primos. Estoy intentando generalizar este enfoque para ver hasta dónde llega.
Lo presento aquí con la esperanza de encontrar un error o confirmar que merece la pena seguir explorando este enfoque.
De Wikipedia, la Conjetura catalana puede definirse como:
Sea $a>1,b>1,x>0,y>0$
Entonces si:
$x^a - y^b = 1$
- La única solución es $x=3, a=2, y=2, b=3$
Intentaré ahora demostrar el caso en el que:
$x=2, y$ es un primo impar
(1) Haciendo esta suposición, tenemos:
$$2^a = 2\left[y(y^{b-2} + y^{b-3} + \dots + 1)(\frac{y-1}{2}) + \frac{y+1}{2}\right]$$
(2) $\frac{y+1}{2}$ es incluso
Si $\frac{y+1}{2}$ es impar, entonces $\frac{y-1}{2}$ es par y $\left[y(y^{b-2}+\dots+1)(\frac{y-1}{2}) + \frac{y+1}{2}\right]$ es impar.
(3) $b$ es impar
Si $\frac{y+1}{2}$ es par, entonces $\frac{y-1}{2}$ es impar y se deduce que $(y^{b-2} + \dots + 1)$ debe ser par. Por lo tanto, $b-2$ debe ser impar.
(4) Que $2^u$ sea la mayor potencia de $2$ que divide $\frac{y+1}{2}$
(5) $y \equiv -1 \pmod {2^{u+1}}$ desde entonces:
Existe $m$ tal que $\frac{y+1}{2^{u+1}}=2m+1$ lo que significa $y = 2^{u+1}(2m + 1) - 1$
(6) $2^{u+1} | (y^{b-2} + \dots 1)$ desde entonces:
$b-2$ es impar y $(y^{b-2} + y^{b-3} + \dots + y + 1) \equiv (-1 + 1) +\dots + (-1 + 1) \equiv 0 \pmod {2^{u+1}}$
(7) Pero entonces tenemos una contradicción ya que:
$y(\frac{y^{b-2}+\dots+1}{2^u})(\frac{y-1}{2})$ es par pero $\frac{y+1}{2^{u+1}}$ es impar para que:
$$2^a \ne 2^{u+1}\left[y(\frac{^{b-2}+\dots+1}{2^u})(\frac{y-1}{2}) + \frac{y+1}{2^{u+1}}\right]$$
Edición: Intento de simplificar en gran medida el argumento basándome en los comentarios recibidos.
