Pares compuestos de la forma n!-1 y n!+1

Question

Es bien sabido que los números de la forma $n!\pm1$ no siempre son primos. Efectivamente, Teorema de Wilson garantiza que $(p-2)!-1$ y $(p-1)!+1$ son compuestos para cada número primo $p > 5$ .

¿Existe alguna prueba, preferiblemente elemental, de que hay infinitos compuestos pares de la forma $n!\pm1$ ?

La motivación de esta pregunta viene de mi respuesta a esta pregunta reciente . Allí muestro que todo modelo no estándar de Aritmética de Peano tiene una $\mathbb{Z}$ -cadena formada enteramente por números compuestos. El ejemplo que he dado es el de un $\mathbb{Z}$ -cadena contenida en el intervalo infinito $[N!+2,N!+N]$ donde $N$ es cualquier número natural no estándar. Me pregunto si podría haber elegido algún $\mathbb{Z}$ -cadena centrada en $N!$ en su lugar. Una respuesta positiva a la pregunta anterior significaría que esto es posible. Nótese que en este contexto es importante que la prueba sea elemental, pero también aceptaré argumentos analíticos hermosos.

Andrey Rekalo señaló que $(N!)^3 \pm 1$ son ambos compuestos. Esto significa que, si $N$ es un número entero no estándar, entonces el $\mathbb{Z}$ -cadena centrada en $(N!)^3$ sólo tiene números compuestos, todos menos dos tienen factores estándar. No sé si es posible encontrar un $\mathbb{Z}$ -cadena todos cuyos elementos tienen un factor estándar.

Answer 1

Bueno, a falta de respuestas, tal vez esto pueda ayudar a alguien a obtener una solución adecuada.

Para demostrar que hay infinitas compuesto pares de la forma $n!\pm1$ bastaría con demostrar que el número esperado de prime números de la forma $n!\pm1$ es relativamente pequeño, es decir $$\limsup\limits_{N\to\infty}\frac{E|\{n=1,\dots,N|\ n!+1\ \mbox{or } n!-1\ \mbox{is prime}\}|}{N}=0.$$

Ahora, hay una nota de Caldwell y Gallot (mencionados en el comentario avove de Kevin Buzzard), que contiene un argumento probabilístico no riguroso que permite obtener una estimación heurística de la expectativa.

En resumen, parten de la base de que $n!\pm1$ se comporta como una variable aleatoria y utilizar la fórmula de Stirling $\log n!\sim n(\log n-1)$ . El teorema de los números primos demuestra que la probabilidad de que un número aleatorio del tamaño $\sim n!\pm1$ ser primo es $$P_n\sim\frac{1}{n(\log n-1)},\quad n\gg 1. $$ Luego tienen en cuenta el teorema de Wilson y algunos otros obstáculos obvios para $n!\pm1$ comportándose aleatoriamente, y obtener sólo una estimación ligeramente más débil $$P_n\sim\left(1-\frac{1}{4\log 2n}\right)\frac{e^\gamma}{n}$$ donde $γ$ es la constante de Euler-Mascheroni. Esta última estimación se traduce en la estimación del número esperado de primos factoriales de cada una de las formas $n!\pm1$ , $n\leq N$
$$E_N\sim e^\gamma \log N,\quad N\gg 1.$$

Ahora bien, esto es en realidad más de lo que necesitamos, y es de esperar que el argumento probabilístico pueda hacerse riguroso para demostrar que $E_N/N$ va a $0$ como $N\to\infty$ .

Edición añadida.

¿Es cierto que para cada número entero positivo $B$ existe un número entero positivo $N$ tal que $N$ es divisible por todos los primos hasta $B$ y $N \pm 1$ ¿son ambos compuestos?

La pregunta modificada es fácil. Tome $N=(B!)^3$ .

Answer 2

Las construcciones explícitas de infinitos ejemplos parecen difíciles. Observando una tabla de factorizaciones de $N! \pm 1$ He observado el siguiente patrón (y ahora veo que es esencialmente lo que Dror sugería en su comentario):

Supongamos que $q \equiv 3 \bmod 4$ y $p = \frac{q+3}2$ son números primos. Entonces para $n = p-2$ tenemos $p \mid n!-1$ y $q \mid n!+1$ si $h(-q) \equiv 1 \bmod 4$ donde $h(m)$ denota el número de clase de ${\mathbb Q}(\sqrt{m})$ . Probabilísticamente, el número de clase de $h(-p)$ debe ser $\equiv 1 \bmod 4$ en la mitad de los casos.

Answer 3

En cuanto a los modelos no estándar: sí que podemos obtener $\mathbb{Z}$ -como intervalos $I$ de forma que cada $x\in I$ tiene un factor estándar. La demostración se realiza mediante la compacidad y el teorema chino del resto:

En primer lugar, adjuntar un símbolo constante $c$ a nuestra lengua. Dejemos que $p_i$ sea el $i^{th}$ número primo, sea $q_i=p_{2i}$ y que $r_i=p_{2i+1}$ .

Definir números $a_i$ , $b_i$ por recursión de la siguiente manera:

$a_0=0$ , $a_{n+1}=\min\lbrace x: \forall k\in\mathbb{N}, j\le n(c\not=a_j+kq_j)\rbrace$

$b_0=0$ , $b_{n+1}=\min\lbrace x: \forall k\in\mathbb{N}, j\le n(c\not=b_j+kr_j)\rbrace$

Ahora, para cada $i\in\mathbb{N}$ , dejemos que $\sigma_i$ exprés " $c$ es congruente con $-a_i$ (mod $p_i$ )", deje que $\tau_i$ exprés " $c$ es congruente con $b_i$ (mod $p_i$ )", y que $\Sigma=\lbrace \sigma_i: i\in\mathbb{N}\rbrace\cup\lbrace \tau_i: i\in\mathbb{N}\rbrace$ . Por el Teorema del Resto Chino, todo subconjunto finito de $\Sigma$ es coherente con True Arithmetic $TA$ así que por compacidad, $\Sigma$ es coherente con $TA$ . Así que hay algún modelo no estándar de $TA$ en el que $\Sigma$ se mantiene; claramente, en tal modelo, cada número en el $\mathbb{Z}$ -centrado en $c$ tiene un factor estándar.

No tengo ni idea de si $every$ Sin embargo, un modelo no estándar tiene un intervalo de este tipo.