¿Intuición de por qué una integral con discontinuidad de salto es continua pero no diferenciable?

Question

Supongamos que tenemos una función $f:[b,d]\to\mathbb{R}$ que tiene una discontinuidad de salto en algún punto $b<a<d$ y continua en caso contrario. Defina $F(x) = \int_b^x$ Luego, a partir de otros respuestas en el sitio Sé que

• la discontinuidad del salto no afecta al valor de $F(x)$
• $F(x)$ es continua (ya que la discontinuidad del salto no afectó al valor de $F(x)$ y $F(x)$ sería continua/diferenciable en caso contrario)
• $F(x)$ no es diferenciable (en $a$ )

Cuando pienso en una función que no es diferenciable, normalmente me imagino un pliegue o un salto.

Pero no veo cómo/por qué $F(x)$ tendría un pliegue/salto (si ése es el problema de la diferenciabilidad). No puede saltar porque la discontinuidad no afecta al valor de la integral. Para un pliegue no tengo ninguna intuición

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He intentado calcular un ejemplo en el que $$g:[-2,3]\to \mathbb{R} = \begin{cases} 1 & x\not = 0\\ 5 & x=0\end{cases}$$

Entonces tenemos, para $G(x)\equiv \int_{-2}^xg$ que $$ G(x) = \begin{cases} \int_{-2}^{x} 1 = (x) +2 =2+x & x< 0\\ \\lim_{\epsilon\to 0} \bigg(\int_{-2}^{-\epsilon}1ds + \int_{\epsilon}^x 1 ds = -\epsilon +2 + x-\epsilon = 2+x-2\epsilon\bigg ) = 2+x & x\geq 0 \end{cases} $$

Así que la integral es $G(x) = 2+x$ que es continua y diferenciable. Así que estoy metiendo la pata en el cálculo en alguna parte, pero no veo dónde? (tal vez no puedo escribir la integral como el límite como $\epsilon\to 0$ precisamente por la discontinuidad).

Answer 1

En mi mente "el" ejemplo de una torcedura es

$F(t) = 0$ para $t \leq 0$

$F(t) = t$ para $t \geq 0$ .

Es cero durante un tiempo y de repente empieza a aumentar. También es claramente la integral de

$f(t) = 0$ para $t \leq 0$

$f(t) = 1$ para $t > 0$ .

Esto también es una fuente de problemas en las derivadas superiores, porque se puede tomar fácilmente, por ejemplo

$G(t) = 0$ para $t \leq 0$

$G(t) = t^3$ para $t \geq 0$ .

Claramente continua. Y la 1ª derivada es continua. La segunda derivada es continua pero con un pliegue.

Answer 2

Esto podría aclararse utilizando una interpretación física para la integración. En concreto, si se integra velocidad se obtiene desplazamiento . Una discontinuidad del integrando sería entonces un punto en el que la velocidad cambia repentinamente, lo que provocaría un pliegue en la trayectoria del objeto.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una función $$f(x)=\begin{cases} -1 &\text{if }x\leq 0 \\ 1 & \text{if }x> 0 \end{cases}$$ Si integras esto, obtienes una función $F(x)=|x|+C$ . Se puede comprobar por cálculo directo. Esto tiene un pliegue en $x=0$ que es exactamente donde el integrando cambia de negativo a positivo. Es decir, si te imaginas esto como la posición de un objeto, antes de $x=0$ el objeto se mueve hacia abajo a una velocidad constante, y después de $x=0$ se desplaza hacia arriba, lo que hace que la posición no sea diferenciable en $x=0$ .

Todo esto es bastante evidente en un gráfico de $|x|$ . Obsérvese que su derivada es $-1$ para todos los valores negativos y $1$ para todos los valores positivos y se produce un cambio de dirección donde estaba la discontinuidad en el integrando.

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En respuesta a la edición de su pregunta: Este argumento no se aplica a discontinuidades removibles como el $$f(x)=\begin{cases}1 & \text{if }x\neq 0 \\ 5 &\text{if }x=0\end{cases}$$ función que das. Es sólo una propiedad de las discontinuidades de salto. Tu integración de la función es correcta. Para la interpretación física, es completamente intrascendente si un objeto intenta moverse con una velocidad de $5$ para un tiempo absolutamente nulo - tiene que haber algún intervalo (o, más exactamente, un conjunto de medida positiva) en el que la integral tenga cambio para reflejar cualquier cambio en el resultado. Desde el punto de vista matemático, si has definido la integración por sumas de Riemann, observa que la contribución a la integral del único lugar donde $f$ toma el valor $5$ se hace cada vez más grande a medida que se utilizan particiones cada vez más finas, por lo que no tiene ninguna importancia para la integral.