¿Cuadrar una base = base?

Question

Sea $b_1, \dots, b_n$ sean vectores en $\mathbb R^n$ con entradas positivas, es decir $b_1, \dots, b_n \in \mathbb R_{>0}^n$ .

¿Es entonces cierto que los siguientes vectores

$$ \begin{pmatrix} (b_1^{(1)})^2 \\ (b_1^{(2)})^2 \\ \vdots \\ (b_1^{(n)})^2\end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} (b_n^{(1)})^2 \\ (b_n^{(2)})^2 \\ \vdots \\ (b_n^{(n)})^2\end{pmatrix} $$

también es una base de $\mathbb R^n$ ?

Answer 1

SUGERENCIA:

Sólo para $n\le 2$ . Para obtener un contraejemplo para $n \ge 3$ empezar con una matriz con determinante cero y elementos positivos. Luego toma la matriz formada con las raíces cuadradas positivas. Casi siempre obtendrás una matriz con determinante $\ne 0$ . Ahora cuadra atrás.

Answer 2

Para ampliar el comentario de orangeskid, cuando $n=3$ puedes utilizar los triples pitagóricos : deje $$ (b_1,b_2,b_3)=\left(\begin{array}{ccc} p_1^2-q_1^2 & 2p_1q_1 & p_1^2+q_1^2 \\ p_2^2-q_2^2 & 2p_2q_2 & p_2^2+q_2^2 \\ p_3^2-q_3^2 & 2p_3q_3 & p_3^2+q_3^2 \\ \end{array}\right) $$

La matriz de cuadrados siempre tendrá $(1,1,-1)$ en su núcleo, pero para valores genéricos del $p_i$ y $q_i$ la matriz anterior será invertible. Un ejemplo :

$$ (b_1,b_2,b_3)=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 5 & 12 & 13 \\ 7 & 24 & 25 \\ \end{array}\right) $$