Cuál es el menor grado posible de un polinomio con coeficientes reales que tiene raíces $2\omega , 2+3\omega , 2+3\omega ^2 , 2-\omega -\omega ^2$
Como hay cuatro raíces, el grado debería ser cuatro, pero la respuesta es cinco. ¿Cómo?
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gsoundsgood
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Veamos las raíces dadas. Vemos que una de estas raíces, $2-\omega -\omega ^2$ es, de hecho real : $$ 2-\omega -\omega ^2 = 3, \quad\mbox{ while }\quad (x-(2+3\omega))(x-(2+3\omega^2)) = x^2-x+7. $$
Un polinomio de cuarto grado con las cuatro raíces dadas tendría coeficientes complejos, es decir, es el polinomio $$ P_4(x) = (x - 3) ( x - 2\omega ) (x^2 - x + 7). \tag{1} $$
Existe un $5$ que tiene las cuatro raíces dadas y una quinta raíz adicional: $$ P_5(x) = (x - 3) ( x - 2\omega )( x - 2\bar\omega ) (x^2 - x + 7) $$ $$ = x^5 - 2 x^4 + 6 x^3 - 17 x^2 - 2 x - 84. \tag{2} $$
Así que el grado mínimo buscado es $5$ el polinomio $(2)$ prueba esto.
La raíz adicional, $2\bar\omega$ se obtiene por conjugación compleja de la raíz $2\omega$ de $P_4(x)$ , eq. $(1)$ .
El polinomio de grado mínimo con coeficientes reales que tiene estas raíces es el producto de $(x-\alpha)(x-\bar\alpha)$ donde $\alpha$ son las raíces dadas, a menos que $\alpha$ es real, en cuyo caso se omite el segundo factor.
Desde $\bar\omega=\omega^2$ y $1+\omega+\omega^2=0$ el polinomio es $$ (x-2\omega)(x-2\bar\omega)(x-2-3\omega)(x-2-3\bar\omega)(x-3) \\= (x^2+2x+4)(x^2-x+7)(x-3) \\= x^5 - 2 x^4 + 6 x^3 - 17 x^2 - 2 x - 84 $$
Dietrich Burde
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Tal polinomio no puede tener grado $4$ porque tenemos, utilizando $1+\omega+\omega^2=0$ , \begin{align}f(x) & =(x-2\omega)(x-(2+3\omega))(x-(2+3\omega^2))(x-(2-\omega-\omega^2))\\ & =x^4 + 2x^3( - \omega - 2) + 2x^2(4\omega + 5) + x( - 20\omega - 21) + 42\omega, \end{align} que no tiene coeficientes reales. Además, ningún escalar múltiplo de él tiene coeficientes reales.
