Primaria la prueba de que si $A$ es una matriz de mapa de$\mathbb{Z}^m$$\mathbb Z^n$, el mapa es surjective si el mcd de máxima menores de edad es $1$

Question

Estoy tratando de encontrar una escuela primaria prueba de que si $\phi$ es lineal en el mapa de $\mathbb{Z}^n\rightarrow \mathbb{Z}^m$ representado por un $m \times n$ matriz $A$, el mapa es surjective si el mcd de los determinantes de todas las $m\times m$ menores de $A$$1$.

Sé que para que haya surjectivity entre el $\mathbb{Z}^n$ y $\mathbb{Z}^m$ $n$ debe ser mayor o igual a $ m$ y que incluso se $m \times m$ menores $n$ nuevo debe ser mayor que o igual a $ m$, por lo que me acaba de asumir esta en todo.

Tengo una dirección $\Leftarrow$

i) el máximo Común Divisor =1 implica surjectivity: en Primer lugar se observa que el si $ | \mathbb{Z}^m/ Im(M)| < \infty$ $|\det M| = | \mathbb{Z}^m/ Im(M) |$ lo contrario $\det(M) = 0$ donde $M$ $m\times m$ matriz. Se puede considerar que la $n$ columnas de $A$ como vectores columna $v_1, v_2, \ldots, v_n$. Estos $n$ vectores columna vivir en $\mathbb{Z}^m$. Deje $S'' = \{ v_i\}$ y, a continuación, deje $S'$ ser subconjuntos de a $S''$ de cardinalidad $m$ y por último vamos a $S$ ser los elementos de $S'$ de manera tal que cuando el $m$ $v_i$ los vectores son considerados como $m\times m$ matrices, el determinante no es cero, por lo $S$ se compone de todos los $m\times m$ menores de $A$ con los no-cero determinante (ignoramos ceros, ya que no afectan a la gcd). Para cada una de las $s\in S$ definir un mapa de $i_s: \mathbb{Z}^m \rightarrow \mathbb{Z}^n$ que se asigna el estándar de la base de $\mathbb{Z}^m$ a la base de los elementos de $e_k \mathbb{Z}^n$ tal que $v_k \in s$. Es decir, $\phi \circ i_s$ da la matriz creada por los vectores columna de $s$. Deje $\Lambda$ ser el entramado de Im$\phi \supset \sum_{s\in S}$ Im $\phi\circ i_s =\sum_{s \in S} \Lambda_s$. Por lo tanto $\forall s \in S$, $\Lambda_s \subset \Lambda \subset \mathbb{Z}^m$. Pensando en términos de la teoría de grupo, tenemos que $\Lambda$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}^m$ y todos los $\Lambda_s$ son subgrupos de $\Lambda$. Así, por medio del Teorema de Lagrange, tenemos $|\mathbb{Z}/\Lambda| \Big\vert |\mathbb{Z}^m/\Lambda_s|$ Desde $|\mathbb{Z}^m/\Lambda_s|$ son los determininants de la $m\times m$ menores de edad y la definición de la común divisor de varios números enteros es el mayor entero positivo dividiendo todos ellos. Así, por hipótesis de $|\mathbb{Z}/\Lambda| \leq 1$ $|\mathbb{Z}/\Lambda| =1$ y tenemos que Im$A=\Lambda = \mathbb{Z}^m$ por lo que el mapa es surjective.

Tenía la esperanza de obtener un más elemental prueba de que no se basan en la observación de que el si $ | \mathbb{Z}^m/ Im(M)| < \infty$ $|\det M| = | \mathbb{Z}^m/ Im(M) |$ lo contrario $\det(M) = 0$ donde $M$ $m\times m$ de la matriz o de formas normales.

Gracias!

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo conmutativo, y $f : R^n \to R^m$ ser un homomorphism de $R$-módulos con sus correspondientes $m \times n$ matriz$A$$R$. Deje $Y_1,\dotsc,Y_v$ $m \times m$ submatrices de a $A$. A continuación, $f$ es surjective iff la $\mathrm{det}(Y_1),\dotsc,\mathrm{det}(Y_v)$ generar la unidad ideal de $R$.

La prueba (lo que he aprendido de Darij Grinberg): Suponga que el $f$ es surjective. A continuación, hay algunos $n \times m$ matriz$B$$AB=1_m$. Deje $Z_1,\dotsc,Z_v$ el valor del $m \times m$ submatrices de a $B$. A continuación, la de Cauchy-Binet fórmula (que tiene un bonito gráfico teórico de la prueba) implica $1=\mathrm{det}(AB)=\sum_{s=1}^{v} \mathrm{det}(Z_s) \mathrm{det}(Y_s)$.

Por el contrario, asumen $\sum_s \lambda_s \mathrm{det}(Y_s)=1$ algunos $\lambda_s \in R$. Deje $B_s$ el valor del $n \times m$ matriz, el cual es construido $\mathrm{adj}(Y_s)$ y con cero columnas que fueron borrados en $A \mapsto Y_s$. Deje $B = \sum_{s=1}^{v} \lambda_s B_s$. Entonces tenemos

$$AB = \sum_s \lambda_s A B_s = \sum_s \lambda_s Y_s \mathrm{adj}(Y_s) = \sum_s \lambda_s \mathrm{det}(Y_s) 1 = 1.$$

Observación: se puede demostrar que $f$ es inyectiva iff $(\mathrm{det}(Y_1),\dotsc,\mathrm{det}(Y_s))$ es regular ideal.

Answer 2

No estoy seguro de qué tipo de maquinaria usted está dispuesto a utilizar. La siguiente prueba es corta pero sofisticado.

En primer lugar, recordemos los tres tipos de entero fila operaciones:

1. La negación de una fila,

2. La conmutación de dos filas,

3. La adición de un número entero múltiplo de una fila a otra.

Cada una de estas operaciones corresponde a un cambio de base en el codominio de $\phi$. Del mismo modo, la columna de enteros operaciones corresponden a un cambio de base en el dominio de $\phi$.

Utilizando entero operaciones de fila y columna de enteros operaciones, cualquier entero matriz puede ser reducido a la forma normal de Smith.

Ahora, aquí está la prueba:

1. Observar que el mcd de los determinantes de la $m\times m$ de los menores de edad no se ve afectada por entero de la fila y de la columna de operaciones. (En particular, un tipo 1 de la columna de operación de negar algunos de los factores determinantes, el tipo 2 de la columna de operación del interruptor de ciertos pares de determinantes y de negar a los demás, y un tipo de la columna 3 de la operación de añadir un múltiplo entero de ciertos determinantes para otros determinantes.)

2. Por lo tanto, es suficiente para demostrar la declaración en el caso de que $A$ está en la forma normal de Smith. Dicha matriz tiene sólo una $m\times m$ menor con determinante distinto de cero, y este determinante es $1$ si y sólo si $\phi$ es sobre.