Cómo resolver $y(x) y'(x) +C_1y(x)^2+C_2y(x)={1\over2}C_3$

Question

$$y(x) y'(x) +C_1y(x)^2+C_2y(x)={1\over2}C_3 $$

C1, C2 , C3 son constantes.

¿cómo resolver esta ecuación?

Answer 1

Sugerencia :

Con las sustituciones constantes adecuadas, se puede reescribir como $$\frac{yy'}{y^2+2ay+b}=c.$$

Entonces completando el cuadrado

$$\frac{yy'}{y^2+2ay+b}=\frac{yy'}{(y+a)^2+b-a^2}=\frac{(y+a)-a}{(y+a)^2+d}y'.$$

Se integrará como el logaritmo del denominador, menos una arctangente (hiperbólica).

$$\alpha\log((y+a)^2+d)-\beta\arctan\left(\frac{y+a}{\sqrt d}\right)=cx+C.$$

Por desgracia, no se puede invertir esta relación.