Manipulación del índice de suma en el cálculo rápido de la transformada real del coseno

Question

Considere $X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{2N}$ para $k=0,1,2,...,N-1$ . Ahora definimos $g_{n} = x_{n} + x_{N-1-n}$ y $h_{n} = \frac{x_{n}-x_{N-1-n}}{2\cos\frac{(2n+1)k\pi}{2N}}$ para $\{x_{n}\}_{n=0}^{N-1}$ y $\{g_{n}\}_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}$ , $\{h_{n}\}_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}$ . A continuación, definimos también $G_{k} = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}g_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}$ y $H_{k}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}$ . Tenga en cuenta que $X_{k}$ es en el contexto de ser la transformada del coseno real de $x_{n}$ .
Demuestra que $G_{k}=X_{2k}$ y $H_{k}+H_{k+1}=X_{2k+1}$ ¡!

Así que aquí está mi intento hasta ahora:
Observe que
$$X_{2k}= \sum_{n=0}^{N-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}$$ $$X_{2k}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}+ \sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}$$ $$X_{2k}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}+ \sum_{i=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{i+\frac{N}{2}}\cos\big(\frac{(2i+1)k\pi}{N} + \frac{k\pi}{2}\big) $$ y no se que hacer a partir de ahora ya que el formulario no coincide.
Entonces, también he intentado la segunda parte pero me encuentro a no ser capaz de hacer más lejos también.
Observe que $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h_{n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h_{n}\cos\frac{(2n+1)(k+1)\pi}{N} $$ $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h_{n}\bigg[\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N} + \cos\frac{(2n+1)(k+1)\pi}{N}\bigg]$$ $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h_{n}2\cos\frac{(2n+1)(2k+1)\pi}{2N}\cos\frac{(2n+1)\pi}{2N}$$ $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\frac{x_{n}-x_{N-1-n}}{2\cos\frac{(2n+1)k\pi}{2N}}2\cos\frac{(2n+1)(2k+1)\pi}{2N}\cos\frac{(2n+1)\pi}{2N}$$ $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x_{n}-x_{N-1-n})\cos\frac{(2n+1)(2k+1)\pi}{2N}$$ $$H_{k}+H_{k+1}= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{n}\cos\frac{(2n+1)(2k+1)\pi}{2N}-\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{N-1-n}\cos\frac{(2n+1)(2k+1)\pi}{2N}$$ De nuevo, no sé qué tengo que hacer en este punto ya que no puedo manipular el índice de la suma para obtener el resultado que quiero.
Agradecemos cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

He aquí la primera parte. Queremos mostrar la igualdad $G_k=X_{2k}$ con \begin{align*} G_k&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\left(x_n+x_{N-1+n}\right)\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}\\ X_{2k}&=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N} \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{G_k}&\color{blue}{=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\left(x_n+x_{N-1+n}\right)\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}}\\ &=\underbrace{\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_n\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}}_{=: A}+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{N-1+n}\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}\\ &=A+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{N-1+\left(\frac{N}{2}-1-n\right)}\cos\frac{\left(2\left(\frac{N}{2}-1-n\right)+1\right)k\pi}{N}\tag{1}\\ &=A+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{\frac{N}{2}+n}\cos\frac{\left(N-1-2n\right)k\pi}{N}\\ &=A+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x_{\frac{N}{2}-\left(n+\frac{N}{2}\right)}\frac{\cos\left(N-1-2\left(n-\frac{N}{2}\right)\right)k\pi}{N}\tag{2}\\ &=A+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x_n\frac{\cos\left(2N-1-2n\right)k\pi}{N}\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_n\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x_n\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}\tag{3}\\ &\color{blue}{=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos\frac{(2n+1)k\pi}{N}=X_{2k}} \end{align*} y se cumple la afirmación.

Comentario:

• En (1) cambiamos el orden de la suma de la derecha: $n\rightarrow \frac{N}{2}-1-n$ .

• En (2) desplazamos el índice para empezar por $n=\frac{N}{2}$ .

• En (3) utilizamos que $\cos$ es una función par y periódica con período $2\pi$ .