Dada la ecuación polar, $r=1+\cos(2\theta)$ demuestre que la longitud de la curva correspondiente a $0 \leq\theta \leq2\pi$ es $8+\frac{4}{\sqrt{3}}\log(2+\sqrt{3})$ .
Aplicar la integración para hallar la longitud de arco, $l$ en forma polar: $\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta$
$r^2=(1+\cos(2\theta))^2=1+2\cos(2\theta)+\cos^2(2\theta)$ ,
y, $\frac{dr}{d\theta}=-2\sin(2\theta)\Rightarrow (\frac{dr}{d\theta})^2=4\sin^2(2\theta)=4-4\cos^2(2\theta)$
$\therefore r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2=5+2\cos(2\theta)-3\cos^2(2\theta)$
Completando el cuadrado, $5+2\cos(2\theta)-3\cos^2(2\theta)=3\left[\frac{16}{9}-(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})^2 \right]$
Sólo haciendo la integración usando (1), pero sin límites para obtener sólo una función, obtengo:
$\int\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta=\int\sqrt{3\left[\left(\frac{4}{3}\right)^2-(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})^2 \right]}d\theta=\sqrt{3}\int\sqrt{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^2-(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})^2 \right]}d\theta$
La integral tiene la forma general: $\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}$
Ignorando el factor de $\sqrt{3}$ la integral es:
$\int\sqrt{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^2-(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})^2 \right]}d\theta=\frac{((\cos(2\theta)-\frac{1}{3})\sqrt{(\frac{4}{3})^2-(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})^2}}{2}+ \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2}{2}\arcsin\frac{(\cos(2\theta)-\frac{1}{3})}{\frac{4}{3}}$
No hay término logarítmico en la solución numérica.
Otra idea que se me ocurrió fue utilizar $\sqrt{1+\cos(t)}=\frac{\sin(t)}{\sqrt{1-\cos(t)}}$ ¿pero esto lleva a una sustitución que no da el término logarítmico?
Estoy un poco atascado con éste. La mayoría de los otros ejemplos que he leído, por ejemplo para $r=1+\cos(\theta)$ parecen estar bien. Es el $\cos(2\theta)$ que me causa el problema.
