$2^{2n+1} +1$ divisible por $3$

Question

$2^{2n+1} +1$ divisible por $3$

Inducción sobre n

Sea $n=1$ entonces: $$2^{2(1)+1}+1=2^{3}+1=9$$ ¡Funciona!

Cadera. $$2^{2n+1} +1=3k$$

Entonces tenemos que demostrarlo: $$2^{2n+3} +1=3k$$

¿Alguna suposición?

Answer 1

Otra idea:

$$2^{2n+3}+1=4\cdot2^{2n+1}+1=\overbrace{2^{2n+1}+1}^{=3k,\,\text{by Ind Hyp.}}+\color{red}3\cdot2^{2n+1}$$

Answer 2

CONSEJO

$$2^{2n+3} +1=2^2 \cdot 2^{2n+1} +1\stackrel{Hyp.}=2^2(3k-1)+1$$

Answer 3

Sugerencia :

$$2^{2n+3}+1=(2^{2n+3}-2^{2n+1})+(2^{2n+1}+1).$$

Answer 4

Conceptualmente la inducción se sigue muy sencillamente por multiplicando las congruencias de abajo usando CPR = Regla del producto de congruencia $ $ como sigue $$\begin{align}\bmod 3\!:\qquad \color{#c00}{2^{\large 2}}\ &\equiv\ \ \ \color{#c00}{1}\\ 2^{\large 2n+1}&\equiv -1\qquad\ \ P(n)\\ \Rightarrow\ \ \color{#c00}{2^{\large 2}}\,2^{\large 2n+1}&\equiv -1\cdot \color{#c00}{1}\quad\ P(n\!+\!1)\end{align}\quad\ \ \ $$

Véase esta respuesta para más información, incluyendo cómo hacer lo anterior sin congruencias.