¿Intuición/idea detrás de una prueba del principio de división?

Question

El principio de división es el siguiente.

Dado un haz vectorial $E \to X$ con $X$ Hausdorff compacto, existe un espacio Hausdorff compacto $F(E)$ y un mapa $p: F(E) \to X$ tal que el mapa inducido $p^*: K^*(X) \to K^*(F(E))$ es inyectiva y $p^*(E)$ se divide como la suma de haces de líneas.

Mi pregunta es, ¿cuál es la idea/intuición que hay detrás de la prueba del principio de división?

Answer 1

Quizás mi brevísimo artículo ``A note on the splitting principle'' (4 páginas más bibliografía) http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/Split.pdf puede ser esclarecedor. Demuestra que el principio de división puede verse como una afirmación sobre la reducción del grupo estructural de un $G$ -paquete $\xi$ de $G$ a un toro maximal $T$ donde $G$ es un grupo de Lie compacto. Se aplica de forma más general que en los ejemplos habituales. Se parte del haz $BT\to BG$ con fibra $G/T$ . Para un $G$ -bundle over $X$ clasificado por $f\colon X\to BG$ se tiene un haz de retroceso $q\colon Y\to X$ con fibra $G/T$ junto con una reducción del grupo estructural de $q^*\xi$ a $T$ . Cuando $H^*(BG;R)$ se concentra en grados pares, $q^*\colon H^*(X;R)\to H^*(Y;R)$ es un monomorfismo. Se ve fácilmente que esto implica el teorema de la división tal como se enuncia habitualmente, y muchas variantes del mismo. Como se indica y explica brevemente en el documento, el argumento se adapta a $K$ -teoría.

Answer 2

En el lenguaje topológico que estés utilizando, $F(E)$ es el espacio de los "desdoblamientos ortogonales". Es decir, $p^{-1}(x)$ es el espacio de todas las formas de escribir la fibra $E_x$ como una suma ortogonal de espacios unidimensionales. Como es el "espacio de los desdoblamientos", existe un desdoblamiento tautológico sobre él. " $\square$ "

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Comente las versiones alternativas que haya visto: Es más común describir $F(E)$ como el espacio de las banderas. Una bandera (completa) $F_{\bullet}$ en un espacio vectorial $V$ es una cadena de subespacios $F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_d = E$ donde $\dim F_k = k$ . Cuando $E$ está dotado de una forma simétrica o hermitiana definida positiva, esto es lo mismo que un desdoblamiento; los sumandos del desdoblamiento son $F_k \cap F_{k-1}^{\perp}$ .

La formulación de la bandera funciona mejor cuando se trabaja con haces vectoriales holomorfos, en cuyo caso la afirmación es que el haz vectorial tiene una filtración con trozos filtrados unidimensionales, no necesariamente un desdoblamiento.