Espectáculo $f(x) = x^3 - \sin^2{x} \tan{x} < 0$ $(0, \frac{\pi}{2})$

Question

Este es el último de una tarea de conjunto de problemas a partir de los Principios de Análisis Matemático (Ch. 8 #18(a)), en los que he estado trabajando/atascado en un par de días:

Definir $f(x) = x^3 - \sin^2{x}\tan{x}.$ Averiguar si es positivo o negativo para todos los $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, o si se cambia de signo. Demostrar tu respuesta.

He pensado en un par de posibles formas de solucionar el problema, pero han quedado atascado en cada momento.

1. Poder serie: Este iba a ser super fácil, ya que el polinomio se ha ido y todos los otros términos son negativos. El problema: tengo que calcular el $\tan$ de la potencia de la serie y muestran diferentes propiedades de los números de Bernoulli. Gran molestia.
2. Recta hasta aproximación: me he pasado la mayoría del tiempo en este método, pero yo siempre sobreestimar, haciéndome perder la desigualdad estricta. Este fue el uso de diversas identidades trigonométricas y sólo cosas básicas como $\sin{x} < x < \tan{x}$$(0, \frac{\pi}{2})$.
3. Integrar y más aproximación. Se ejecuta en la misma dificultad que el anterior, la sobreestimación.

Estoy corriendo en círculos en este punto, probablemente falta algo simple. Puedo obtener una pista?

Answer 1

Usted puede tomar la derivada para demostrar que es siempre negativo, excepto en $0$ donde es cero. A pesar de que no es obvio, así que tome la derivada de nuevo para mostrar la misma cosa. Hasta que usted consigue algo que es obvio, entonces el trabajo de su camino de regreso.

Ok, creo que ya lo tienes. Así que voy a añadir ahora la respuesta.

Los tres primeros son derivados de:

$$f'(x)=3 x^2 - 2\sin^2(x) - \tan^2(x)$$ $$f''(x)=6 x - 4\cos(x)\sin(x) - 2\sec^2(x)\tan(x)$$ $$f'''(x)=-2(5+2\cos(2x))\tan^4(x)$$

Sólo tiene que enchufar y jugar a ver que $f(0)=0$, $f'(0)=0$, y $f''(0)=0$.

Se puede ver que $5+2\cos(2 x)\ge 3$$\tan^4(x)\ge 0$. Por lo tanto,$f'''(x)\le 0$.

Mientras $f'''(x)$ es continua, lo cual es cierto hasta el $x&lt{\pi\over 2}$, luego tenemos a $f''(x)&lt0$$0&ltx&lt{\pi\over 2}$.

Enjuague y repita. $f'(x)$ es cero a cero y luego disminuye, ya que $f''(x)$ es negativo después de cero. Por lo $f'(x)&lt0$$0&ltx&lt{\pi\over 2}$. Ahora $f(x)$ es cero a cero y disminuyendo, ya que $f'(x)$ es negativo después de cero.

Por lo tanto,$f(x)&lt0$$0&ltx&lt{\pi\over 2}$.

Actualización:

@Aryabhata preguntó cómo conseguí que la expresión para la tercera derivada. Fue por la factorización de un polinomio. Sin cachondeo, que se obtiene por el tercero derivados de:

$$6 - 4\cos^2(x) + 4\sin^2(x) - 2\sec^4(x) - 4\sec^2(x)\tan^2(x)$$

Usted, a continuación, convertir todo en los senos, donde aquí se reemplace$\sin(x)$$s$:

$$6 - 4(1-s^2) + 4 s^2 - {2\over (1-s^2)^2} - {4\over (1-s^2)}{{s^2}\over(1-s^2)}$$

Ahora saca un numéricos comunes factor y el denominador, y, a continuación, expanda a obtener:

$$-{2\over(1-s^2)^2}(7 s^4 - 4 s^6)$$

y factoring:

$$-{2 s^4\over(1-s^2)^2}(7 - 4 s^2)$$

Hay algunos obvios identidades trigonométricas podemos aplicar para simplificarlo, pero para los propósitos de este problema, vamos a parar ahí. Ya podemos ver por la inspección que el $f'''(x)\le 0$, que es todo lo que se necesita para la respuesta anterior.

(Nota: cuando hice este problema originalmente, he sustituido todo con cosenos en lugar de los senos. Que hizo factorizar el polinomio mucho más difícil. Cuando vi la respuesta, me di cuenta de que debería haber utilizado los senos en su lugar. Así que cuando escribí esta respuesta, he utilizado los senos para hacerme mirar más inteligente de lo que realmente soy. Todos lo hacemos cuando escribimos pruebas, ¿verdad? Buscamos el camino más corto, probablemente tomando $17$ diferentes tonto desvíos antes de escribir el final elegante-en busca de la solución. O tal vez eso es sólo conmigo.)

Answer 2

El poder de la serie de enfoque funciona, aunque requiere algo de computación numérica. Ya que parecía estar interesado en asymptotics y aproximaciones, usted puede encontrar este interesante.

Es suficiente para demostrar que

$$ \sin ^3 x \gt x^3 \cos x,\quad 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $$

Ahora el poder de la serie para $\displaystyle \sin^3 x$ es

$$ \sin^3 x = x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{13x^7}{120} - \frac{41x^9}{3024} + \frac{671x^{11}}{604800}- \frac{73x^{13}}{1140480} + \dots $$

Tenga en cuenta que $\displaystyle \sin^3 x = -\frac{1}{4} (\sin 3x - 3 \sin x)$ $\displaystyle (2k+1)^{th}$ derivado en $\displaystyle 0$ es

$$ c_{2k+1} = \frac{(-1)^{k+1}}{4}(3^{2k+1} - 3)$$

Ahora para $\displaystyle k \ge 4$, podemos demostrar que

$$ \left|\frac{c_{2k+1}}{(2k+1)!}\right| \gt \left|\frac{\pi^2}{4} \frac{c_{2k+3}}{(2k+3)!}\right|$$

(Es suficiente para verificar la $\displaystyle k=4$ $\displaystyle 4|c_{2k+1}| (2k+2)(2k+3) - \pi^2|c_{2k+3}|$ en una función creciente de $\displaystyle k$).

Observe que $\displaystyle \frac{c_{2k+1}}{(2k+1)!}$ no es nada, pero el coeficiente de la serie de Taylor.

Así, por $\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$, tenemos que (alternancia de serie con la disminución del valor absoluto de los términos)

$$ \sin ^3 x \gt x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{13x^7}{120} - \frac{41x^9}{3024} $$

Asimismo, para $\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ tenemos que

$$ x^3 \cos x \lt x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{24}$$

Ahora es fácil ver que para $\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ tenemos que

$$x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{13x^7}{120} - \frac{41x^9}{3024} \gt x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{24}$$