Dimensión de la suma de 3 subespacios

Question

Sea $W_1$ , $W_2$ y $W_3$ sean subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial.

Demuestre que puede ocurrir que $W_i \cap W_j = 0$ para todos $i \ne j$ pero aún así $\dim(W_1 + W_2 + W_3) \ne \dim W_1 + \dim W_2 + \dim W_3$ .

Tengo un contraejemplo de tres líneas que representan cada subespacio que se cruzan en 0, pero no entiendo muy bien por qué funciona.

Sé que esta propiedad es válida para dos subespacios, así que no entiendo por qué no lo es para tres.

Answer 1

Sabemos que $\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1)+\dim(W_2)-\dim(W_1 \cap W_2)$ . Por lo tanto, para tres subespacios, $\dim(W_1+W_2+W_3) = \dim(W_1)+\dim(W_2+W_3)-\dim(W_1 \cap (W_2+W_3))$ . Sólo porque $W_1 \cap W_2 = 0$ y $W_1 \cap W_3 = 0$ no significa que $W_1 \cap (W_2+W_3) = 0$ .

Answer 2

Intento dar una respuesta intuitiva. En el caso con dos subespacios, la condición $W_1 \cap W_2 = 0$ se traduce en la "independencia lineal de los dos subespacios": $$\begin{align*} & \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = 0 , \text{ where } x_1 \in W_1, x_2 \in W_2\\ \Longrightarrow & \lambda_1 x_1 = - \lambda_2 x_2 \in W_1 \cap W_2 = 0 \\ \Longrightarrow & \lambda_1 = \lambda_2 = 0 . \end{align*}$$

Mientras que en el caso con tres o más subespacios, la condición de "independencia lineal" por pares $W_i \cap W_j = 0$ para $i \neq j$ no es lo suficientemente fuerte como para garantizar que cada $W_i$ generaría "direcciones nuevas/indepedientes". Podríamos necesitar condiciones como $(W_1 + \cdots + W_{j} ) \cap W_{j+1} =0$ para todos $j \geq 1$ para garantizar que $W_{j+1}$ es realmente independiente del subespacio generado por el primer $j$ subespacios.

Answer 3

La condición $$\dim(W_1 + W_2 + W_3) = \dim W_1 + \dim W_2 + \dim W_3$$ es equivalente a la condición de que la suma $W_1 + W_2 + W_3$ es una suma directa. Sabemos que $W_1 + W_2 + W_3$ es una suma directa si y sólo si $W_1 \cap W_2 = 0$ y $(W_1 + W_2) \cap W_3 = 0$ .