En un colector riemanniano $(M,g)$ sabemos $$ u^{\mu}\nabla_{\mu}v^{\nu}=0 $$ determina la curva en la que podemos movernos $v^{\nu}$ paralelo. Pero aquí $v^{\nu}$ es un campo vectorial. Si estamos en el espacio euclidiano, podemos mover un solo vector libremente, así que mi pregunta es ¿cómo definir el movimiento de un solo vector en una curva en el colector riemanniano?
Creo que como solo tengo un vector en un punto, no puedo usar la derivada covariante. Pero la derivada de Lie sigue siendo útil porque sólo depende del mapa entre dos variedades. Pero no sé si podemos leer un mapa entre dos variedades a partir de una curva sobre una variedad.
Agradecería mucho cualquier pista o referencia.
PD: Este problema viene de la física. Si un hombre tiene su propio sistema de coordenadas en un punto, cómo saber el sistema de coordenadas correspondiente después de su movimiento. Creo que es una pregunta resuelta, pero no puedo encontrar referencias relacionadas.
