Si $C$ es un subconjunto conectado de un espacio métrico desconectado $X=A\cup B$ entonces $C\subseteq A $ o $C \subseteq B$

Question

Si $C$ es un subconjunto conexo de un espacio métrico desconectado $X=A\cup B$ donde $\overline{A}\cap B = A\cap \overline{B} = \phi$ entonces $C\subseteq A $ o $C \subseteq B$

Si $C\subseteq A $ o $C \subseteq B$ entonces hemos terminado. Supongamos que ni $C\subseteq A $ o $C \subseteq B$

$\Rightarrow \; \; \exists \; x,y \in X $ tal que

$x\in C\cap A$ y $y \in C\cap B$ obviamente $x\neq y $ desde $A\cap B= \phi$

Tenemos $C\cap A \subseteq C$ y $C\cap B \subseteq C$ y ambos no están vacíos.

C= $C\cap X = C\cap (A\cup B) = (C\cap A)\cup (C\cap B)$

También,

$C\cap A \subseteq A$ y $C\cap B \subseteq B$ y puesto que $A\cap B = \phi $

$(C\cap A)\cap (C\cap B) = \phi$

Aquí es donde tengo el problema :-

¿Puedo decir directamente que $(C\cap A)$ y $(C\cap B)$ están abiertos en C?

Porque eso demostrará inmediatamente que C está desconectado y tendríamos la contradicción requerida.

Answer 1

Desde $A\cap \overline B=\emptyset$ y $X=A\cup B$ entonces $B=\overline B$ está cerrado y $A$ está abierto. Por lo tanto $C\cap A$ está abierto en $C$ (porque los subconjuntos abiertos de $C$ no son más que la intersección de $C$ con subconjunto abierto de $X$ .)

El mismo razonamiento demuestra que $C\cap B$ está abierto.

Answer 2

Observe que $B$ es el complemento del conjunto cerrado $\overline A$ por lo tanto, está abierto.

Del mismo modo $A$ está abierto.

Entonces $C\cap A$ y $C\cap B$ están abiertas en $C$ .

Ahora puedes terminar tu demostración afirmando que uno de ellos debe estar vacío (porque $C$ es conexo) de modo que $C\subseteq A$ o $C\subseteq B$ .