Dado un complejo CW n-dimensional X, ¿cómo puedo demostrar que $H^n(X;\mathbb{Z}) \cong [X,S^n]$ ?
Respuesta
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Lo que es cierto para cualquier Complejo CW $X$ es que $H^n(X;\mathbb{Z})\cong [X,K(\mathbb{Z},n)]$ donde $K(\mathbb{Z},n)$ es el espacio de Eilenberg-MacLane para $\mathbb{Z}$ en grado $n$ . La razón por la que tu afirmación es válida para $n$ -de los complejos CW es porque podemos construir un modelo de $K(\mathbb{Z}, n)$ para que $S^n$ es el $(n+1)$ -esqueleto, ya que $\pi_i(S^n)$ tiene el valor correcto para $i\leq n$ por lo que sólo tenemos que eliminar $\pi_i(S^n)$ para $i\geq n+1$ con celdas de dimensión $\geq n+2$ .
Ahora se afirma que la inclusión $\iota\colon S^n = K(\mathbb{Z}, n)^{(n+1)} \to K(\mathbb{Z},n)$ induce una biyección $\iota_*\colon [X,S^n] \to [X,K(\mathbb{Z}, n)]$ para cualquier $n$ -complejo dimensional $X$ . Esto se debe al hecho mucho más general de que si $X$ es $n$ -entonces $\iota_*\colon[X,Y^{(n+1)}]\cong[X,Y]$ para cualquier otro complejo CW $Y$ . La subjetividad es equivalente a factorizar cualquier mapa $f\colon X\to Y$ hasta homotopía a través de algún $\tilde{f}\colon X \to Y^{(n+1)}$ que podemos hacer por aproximación CW. Para ver la inyectividad, consideremos dos mapas (celulares) $f, g\colon X \to Y^{(n+1)}$ y supongamos que son homotópicos como mapas $X \to Y$ a través de algunos $$ H\colon X\times I \to Y$$ Entonces como $X\times I$ es $(n+1)$ -dimensiones y $H$ ya es celular en el subcomplejo $X\times \{0,1\}$ se aplica la aproximación relativa CW para dar una homotopía $$ H'\colon X\times I \to Y^{(n+1)}$$ que coincide con $H$ en $X\times \{0,1\}$ es decir $H'$ es una homotopía entre $f$ y $g$ a través de $Y^{(n+1)}$ Por lo tanto $\iota_*$ es inyectiva.
