Cómo diferenciar parcialmente la integral $\int_{0}^{x/\sqrt{t}}\exp(-\xi^2/4)d\xi$ en relación con $x$ y $t$ ?

Question

Cómo diferencio parcialmente la siguiente integral:

$$ u(x,t) := \int_{0}^{x/\sqrt{t}}e^{-\xi^2/4} \,\mathrm d \xi $$

Me gustaría calcular $\frac{\partial u}{\partial x}(x, t)$ y $\frac{\partial u}{\partial t}(x, t)$ .

He intentado resolver la integral indefinida:

$$ \int e^{-\xi^2/4} \,\mathrm d \xi $$

con la esperanza de obtener una fórmula más agradable, pero incluso el CAS sólo escupir

$$ \int e^{-\xi^2/4} \,\mathrm d \xi = \sqrt{\pi}\operatorname{erf}\left(\frac{\xi}{2}\right)=2\int_{0}^{\frac{\xi}{2}}e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau $$

que no es de mucha ayuda, ya que básicamente es sólo una ligera reorganización de la función original.

También he intentado aplicar el teorema fundamental del cálculo, reescribiendo

$$ u(x,t) := \int_{0}^{g(x,t)}h(\xi)d\xi = H(\xi)\Big|_0^{g(x,t)}=H(g(x,t))-H(0) $$

pero también estoy atrapado aquí.

Answer 1

CONSEJO

Piensa en $$ f(z) = \int_0^z e^{-s^2/4}ds $$ con la propiedad $$f'(z) = e^{-z^2/4}.$$

Tenga en cuenta que su $u(x,t) = f(x/\sqrt{t})$ . Basándote en esto y usando la regla de la cadena, ¿puedes averiguar los parciales que pides?

Answer 2

$$u(x,t) = \int_{0}^{x/\sqrt{t}}e^{-\xi^2/4} d \xi$$

Utilice Regla de Leibnitz para la integración

$$ \frac{\partial u}{\partial x}(x, t) = \exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right) \frac{d}{dx} \left[\frac{x}{\sqrt t}\right] = \exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right) \frac{1}{\sqrt t } $$

Del mismo modo, ¿puede calcular $\frac{\partial u}{\partial t}(x, t)$ ?