Tengo la misma pregunta aquí . Sin embargo no entiendo la prueba dada.
La cuestión es, para un Espacio Vectorial $V$ con un subespacio $U$ Demuéstralo: $\text{dim} U + \text{dim}U^{0}=\text{dim}V$ . En $U^{0}$ es el aniquilador de U.
La prueba que se dio fue:
Suponiendo que se trate de espacios de dimensión finita, basta con utilizar un argumento de base dual: Supongamos que $\{v_1, v_2, \ldots, v_m\}$ es una base para $U$ que puede extenderse a una base $\{v_1, v_2, \ldots, v_m, v_{m+1}, \ldots, v_n\}$ para $V$ .
Sea $\{\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\}$ sea una base dual para $V^{\ast}$ entonces $$ \{\varphi_{m+1}, \varphi_{m+2}, \ldots, \varphi_n\} \subset U^{\circ} $$ Ahora comprueba que este conjunto forma una base para $U^{\circ}$ .
Lo comprendo: $\{\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\}$ puede asignarse como base dual para $V^{\ast}$ , sin embargo no entiendo por qué eso implica que $ \{\varphi_{m+1}, \varphi_{m+2}, \ldots, \varphi_n\} \subset U^{\circ}$ . Si pudiera ampliar esta información, se lo agradecería mucho. Muchas gracias.
