Cálculo explícito de las medidas pushforward

Question

Entre los conjuntos medibles habituales $\mathbb{R}$ y $S^1\subset\mathbb{R}^2$ existe una cartografía medible $$f: \mathbb{R}\to S^1$$ dada por $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$ . La medida de de Lebesgue $\mu$ en $\mathbb{R}$ puede, por tanto, reenviarse a un medida $\hat\mu$ en $S^1$ dado por $$\hat\mu(A)=\mu(f^{-1}(A))=\int_{f^{-1}(A)} 1\ dt$$ para todos $A\subset S^1$ mensurable.

Me preguntaba si existe la posibilidad de expresar esta medida como $$\hat\mu(A)=\int_{A} ???\ d\underline x,$$ donde ésta es la integral de Lebesgue habitual de $S^1\subset\mathbb{R}^2$ .

Si estuviéramos haciendo el pushforward entre a espacios medibles en $\mathbb{R}^n$ esto sería posible: los signos de interrogación serían un jacobiano. Pero no recuerdo que haya una fórmula de cambio de variables entre dos dimensiones diferentes...

Answer 1

La medida de Lebesgue de $S^1$ como subconjunto Borel de $\mathbb R^2$ es cero, por lo que no se puede hacer lo que pides: para cada densidad $\varphi$ , $\int\limits_{S^1}\varphi(x)\mathrm d\text{Leb}_2(x)=0$ porque $\text{Leb}_2(S^1)=0$ por lo que se obtendría $\hat\mu(S^1)=0$ aunque pides que $\hat\mu(S^1)=\mu(\mathbb R)=+\infty$ .

Tenga en cuenta que $\hat\mu$ tal y como se define es tal que $\hat\mu(A)$ es $0$ o $+\infty$ para cada $A\subseteq S^1$ :

• Si $\text{Leb}_1(f^{-1}(A)\cap[0,2\pi))\ne0$ entonces $\text{Leb}_1(f^{-1}(A))=\hat\mu(A)=+\infty$ .
• Si $\text{Leb}_1(f^{-1}(A)\cap[0,2\pi))=0$ entonces $\text{Leb}_1(f^{-1}(A))=\hat\mu(A)=0$ .