Conjunto de elementos de grado $2^n$ sobre una base de campo es en sí mismo un campo de

Question

Deje $F \subset L$ dos campos, y definir $K = \{\alpha \in L\mid [F(\alpha): F] \text{ is a power of 2} \}$. Nuestro problema es demostrar que $K$ es un campo.

Cierre bajo la reciprocidad es fácil (debido a $F(\alpha) = F(\alpha^{-1})$). Nos encontramos en la dificultad para demostrar cierre bajo la suma y la multiplicación. Nuestro primer intento fue para demostrar que para cualquier $\alpha, \beta \in L$, $[F(\alpha, \beta): F]$ divide $[F(\alpha): F] [F(\beta): F]$, pero esto se basa en un resultado que $[F(\alpha, \beta): F(\alpha)] = \deg_{F(\alpha)} (\beta)$ divide $[F(\beta), F] = \deg_F (\beta)$, (lo que podemos decir) no es necesariamente cierto.

EDIT: Como se señala más adelante, el problema es irresoluble; el profesor que le ha asignado está de acuerdo.

Answer 1

Deje $\alpha$ $\beta$ ser dos de las raíces de una $S_4$ el cuarto grado; entonces ambos tienen grado 4, pero su suma tiene grado 6.

Una discusión detallada de grados de sumas y productos de números algebraicos, se puede encontrar aquí.

EDIT: Con un poco de ayuda de Wolfram Alpha, y posiblemente con muchos errores de mi cuenta, me presente este ejemplo. El $S_4$-cuártica $x^4-x-1$ tiene dos raíces reales, que ascienden a $$y=\sqrt{\left({9+\sqrt{849}\over18}\right)^{1/3}-4\left({2\over3(9+\sqrt{849})}\right)^{1/3}}$$ and the minimal polynomial for $y$ is $y^6+4y^2-1$.

Los dos raíces reales del cuarto grado son de la forma $(1/2)y\pm z$ donde $z$ es una expresión radical acerca de dos veces tan complicada como la expresión de $y$. Ir a Wolfram, y ver por ti mismo.

EDIT: El link muerto señaló a este periódico: Paulius Drungilas, Arturas Dubickas, Chris Smyth, Un grado de problema de dos números algebraicos y su suma, Publ. Mat. 56 (2012), 413--448. Este vínculo debe trabajar (por ahora).