Si $f(x)$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ & $a,b \in \mathbb{R}, a\neq b$ tal que $f'(x)=(x-a)(x-b)$ entonces $f$ tiene exactamente un mínimo y un máximo locales?

Question

Demostrar o contradecir:

Si $f(x)$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y existen $a,b \in \mathbb{R}, a\neq b$ tal que $f'(x)=(x-a)(x-b)$ entonces $f$ tiene exactamente un mínimo y un máximo locales

Sé que $f'$ sólo tiene dos raíces que son $a$ y $b$ como las posibles ubicaciones de los puntos mínimo y máximo, pero ¿cómo muestro que éstos son necesariamente o no son necesariamente puntos mínimo y máximo?

Answer 1

Sea $a<b$ sin pérdida de generalidad. Para $x<a$ tenemos $f'(x)>0$ para $x=a$ tenemos $f(a)=0$ y para $a<x<b$ obtenemos $f'(x)<0$ . Esto puede interpretarse como $f$ aumenta hasta $x=a$ y luego disminuye mientras que $x$ se acerca a $b$ desde la izquierda. Así que $f(a)$ es un máximo. Del mismo modo $f'(b)=0$ y $f'(x)>0$ para todos $x>b$ lo que implica que $f$ una vez que alcance $f(b)$ empieza a aumentar. Así que $f(b)$ es un mínimo. Estos dos puntos $a,b$ son los únicos extremos locales, ya que $f'(x)$ desaparece exactamente ahí por su propia definición.

Answer 2

\begin{align} f''(x) = \left( x - b \right) + \left( x - a \right) \end{align} \begin{align} f''(a) = \left( a-b \right) \end{align} \begin{align} f''(b) = \left( b -a \right) \end{align} En \begin{align} a \gt b \end{align} Entonces \begin{align} f''(a) \gt 0 \end{align} Y \begin{align} f''(b) \lt 0 \end{align} En \begin{align} b \gt a \end{align} Entonces \begin{align} f''(a) \lt 0 \end{align} Y \begin{align} f''(b) \gt 0 \end{align} Como se puede ver en ambos casos tenemos un Máximo y un Mínimo locales

Answer 3

La calificación del punto estacionario se realiza con

$$ f''(x) = (x-a)+(x-b) = 2x-(a+b) $$

por lo tanto tenemos

$$ f''(a) = a-b\\ f''(b) = -(a-b) $$

por lo que uno de ellos es un mínimo relativo y el otro un máximo relativo en función de $a > b$ o $b > a$