Referencia para la estimación del conmutador

Question

Estoy interesado en las estimaciones del espacio de Sobolev para conmutadores que implican un operador pseudodiferencial y un multiplicador de Fourier. Más concretamente, supongamos $p = p(x,\xi) \in S_{1,0}^{m_1}$ y que $q = q(\xi) \in S_{1,0}^{m_2}$ donde $S_{\rho,\delta}^m$ denota la clase de símbolos estándar de Hörmander. ¿Alguien conoce una referencia para una estimación de conmutador de la forma $$\| [\mathrm{Op}(p),\mathrm{Op}(q)](u) \|_{H^\sigma} \lesssim \|u\|_{H^s}$$ para cierto intervalo de $\sigma, s$ ?

O incluso algo más sencillo como $$\| [\mathrm{Op}(p),\partial_j](u) \|_{H^\sigma} \lesssim \|u\|_{H^s}?$$

Agradecería cualquier idea. Gracias.

Answer 1

Dadas sus suposiciones sobre $p$ y $q$ , $[Op(p),Op(q)]\in S^{m_1+m_2-1}_{1,0}.$ Dado cualquier $A\in OPS^m_{\rho,\delta}$ con $0\leq\delta<\rho\leq 1$ se tiene que $A:H^s\rightarrow H^{s-m}$ de forma limitada (se deduce de una combinación de Calderon-Valliancourt y el multiplicador de Fourier $\Lambda_s$ con el símbolo $\langle \xi\rangle^s$ ). En particular, dado $u\in H^s,$ tenemos que $$\|[Op(p),Op(q)]u\|_{H^\sigma}\lesssim \|u\|_{H^s}$$ para cualquier $\sigma\leq s+m_1+m_2-1.$

Answer 2

Respuesta a la pregunta MO/414577 Tu pregunta se reduce a la versión más simple usted afirma, en vista de Egorov elíptica de Fourier Además, para un dominio estrella, la identidad de Pohozaev calcula directamente la norma p*- estimada del gradiente de u en términos de la derivada normal en la frontera, observando que en el subespacio de traza cero, la norma H^1 es equivalente a la norma grad(u)- NagarajIyengar