En las sustancias ordinarias, tenemos el sistema en equilibrio térmico con el entorno, y con un número fijo de partículas. Sin embargo pasamos al gran sistema canónico por eficiencia, donde no tenemos que restringirnos a un número fijo de partículas $N_{0}$ y eso simplifica enormemente los cálculos. En este caso, el sistema está acoplado al entorno, que se mantiene a una temperatura fija. $T$ y potencial químico $\mu$ .
En realidad, en nuestro problema real,estamos en un sistema "canónico", y las cantidades $T$ y $N_{0}$ son fijos. Sin embargo vamos al gran sistema canónico, y trabajamos con un potencial químico $\mu$ junto con el fijo $T$ que se asegura de producir un $\textbf{average particle number} \ <N>$ igual a $N_{0}$ en el gran sistema canónico. Así, el potencial químico se pone de manifiesto de forma artificial.
En cierto modo, tenemos dos grados de libertad, en realidad $T$ y $N_{0}$ pero hemos optado por trabajar con parámetros independientes $T$ y $\mu$ mientras obtenemos nuestros resultados de la gran teoría canónica.
Ahora bien, en el gran conjunto canónico, cada estado caracterizado por una energía total particular $E$ y el número total de partículas $N$ tiene la probabilidad de aparecer
\begin{equation} \rho\sim e^{-\beta E+\beta \mu N} \end{equation}
Ahora, tratemos primero con los fermiones: como $T\rightarrow 0$ la probabilidad de tener estados de mayor energía se vuelve despreciable. Sin embargo, con $\mu>0$ como $T\rightarrow 0$ las probabilidades aumentan exponencialmente a medida que añadimos más partículas. Combinando los dos hechos, acabamos predominantemente con estados con simultáneamente "baja" energía total y con "alto" número de partículas. (El uso de los términos "alto" y "bajo" es subjetivo, pero debería quedar claro por el contexto). Pero esto no da una contribución divergentemente grande para los fermiones, porque con una energía total particular "pequeña", debido al Principio de Exclusión de Pauli, el número total de partículas no puede exceder un cierto valor. Por tanto, como $T\rightarrow 0$ debemos tener un valor positivo de $\mu$ . Sólo hay un número limitado de Estados que aportan una contribución significativa[Ver nota al final].
Si acabamos haciendo la media de los estados que contribuyen, veremos que producen un número medio determinado de partículas $N_{0}$ con una elección adecuada de $\mu(T=0)$ . (Por supuesto, eso es exactamente lo que se hace).
Ahora que la temperatura $T$ aumenta, los estados de mayor energía empiezan a ser más probables, y si $\mu$ se mantuviera constante o aumentara, empezaríamos a tener un problema, ya que habría más estados con más energía y más número de partículas que dieran una contribución significativa, y por tanto el número medio de partículas $<N>$ en el sistema se dispararía. Pero, por supuesto, el punto es mantener el número de partículas $<N>=N_{0}$ una constante. Por lo tanto tenemos que postular que $\mu$ disminuye y se vuelve negativa,(muy rápidamente, como argumentaremos en un momento).
En $T$ es muy grande y, por tanto $\beta$ es muy pequeño, sostenemos que $\mu$ es negativo , que escribimos como $\mu=-|\mu|$ y por lo tanto, ahora,
\begin{equation} \rho\sim e^{-\beta E-\beta |\mu| N} \end{equation}
En $\beta\rightarrow 0$ los estados de mayor energía son más probables, pero tenemos que asegurarnos de que $|\mu|$ aumenta a un ritmo tremendamente rápido, de modo que $-\beta|\mu|$ es una cantidad negativa muy grande (incluso cuando $\beta\rightarrow 0$ ), de modo que los estados con un número muy elevado de partículas aportan una contribución muy despreciable. Por tanto, sólo contribuyen los estados con un amplio espectro de energías y simultáneamente con un bajo número de partículas. Para que esto sea posible, de nuevo, esto daría en promedio , el mismo valor para el número medio de partículas $<N>=N_{0}$ en el sistema (véase la nota al final).
Así, para todas las temperaturas, para mantener constante el número de partículas, esencialmente, acabamos variando $\mu$ adecuadamente.
El argumento del límite de alta temperatura es el mismo para los bosones también, pero como se señala en la respuesta de Lubos Motl, cuando $T\rightarrow 0$ no podemos tener en absoluto un valor positivo de $\mu$ porque el Principio de Exclusión de Pauli no se cumple para los bosones, y obtendríamos una divergencia violenta para la media $<N>$ como $T\rightarrow 0$ . Por lo tanto, para los bosones, tenemos que empezar con un valor de $\beta\mu=0$ como $\beta\rightarrow \infty$ .
[De hecho, hay divergencia no obstante para $T\leq T_{critical}$ y, en sentido estricto, nuestro formalismo sólo es válido para valores de temperatura superiores al (muy pequeño) valor crítico. $\beta\mu\approx 0$ en $T=T_{critical}$ y formalmente, también se toma $0$ para todos los valores de $T$ por debajo del valor crítico. Por ejemplo, como se muestra en la Figura Pathria 7.2].
Así pues, en general, tanto en el caso de los fermiones como de los bosones, podemos utilizar el número medio de partículas $<N>$ que obtenemos, como el valor del valor fijo real de $N_{0}$ en el problema original.
[Nota: Aquí, básicamente estamos utilizando un argumento de densidad de estados para estados simultáneamente a una energía total particular. $E$ y total particular $N$ valor. Después de obtener la probabilidad de que aparezca el estado a partir de la fórmula estándar de probabilidad de los estados (que es el resultado de la maximización de la entropía, en cierto modo), necesitamos averiguar cuántos estados de este tipo existen realmente, a partir de la densidad de estados, como función simultánea de $E$ y $N$ . En principio, esto puede estimarse a partir de la densidad de estados de las partículas individuales, esencialmente un argumento combinatorio].
