Prueba o contraejemplo relacionado con la topología de los espacios métricos

Question

Sea $(E,m)$ sea un espacio métrico con la topología inducida por la métrica. Quiero probar o refutar esto

Si ninguna bola abierta es contractible, entonces $E$ tiene caridinalidad tanto contable y todos sus puntos todos punto de acumulación.

Answer 1

Como contraejemplo sencillo, veamos $E=\,\mathbb{R}{\setminus}\mathbb{Q}$ con la métrica heredada de $\mathbb{R}$ .

Entonces $E$ es incontable, y ninguna bola abierta es contractible.