El estudio de la convergencia de $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

Question

Estoy estudiando la convergencia de integrales impropias. En este caso me piden que calcule si la siguiente integral converge. $$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$$

Para ello mi profesor utilizó la prueba de comparación con la función $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ ya que el límite $$\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}{\frac{1}{\sqrt{1-x}}}\neq0,\infty$$ Y por tanto la integral inicial convergerá si y sólo si $$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$$ converge. De hecho, esta última integral es $2$ por lo que la integral inicial converge.

Mi pregunta es sobre el límite, no sé cómo calcularlo así que no entiendo por qué mi profesor eligió comparar el límite con la función $\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ .

Answer 1

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}{\frac{1}{\sqrt{1-x}}}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}\sqrt{1+x^2}}=\frac1{\sqrt{1+x}\sqrt{1+x^2}}\xrightarrow[x\to1]{}\frac1{\sqrt2\sqrt2}=\frac12$$

Answer 2

La prueba de comparación no requiere realmente que $\lim_{x\to 1^-} (1-x^4)^{-1/2}/(1-x)^{-1/2}$ existe. Sea $g(r)=\int_0^r(1-x^4)^{-1/2}dx$ para $r\in [0,1).$

Basta con encontrar algunos $h(x)$ y algunos $K>0$ tal que $(1-x^4)^{-1/2} <Kh(x)$ para $x\in [0,1)$ y tal que $\sup_{r\in [0,1)}\int_0^rh(x)dx=M<\infty.$

Porque esto implica que $g(r)\le KM$ para todos $r\in [0,1),$ y $g(r)$ es una función creciente, por lo que $\lim_{r\to 1^-}g(r)$ existe.

En la Q, que $K=1$ y $h(x)=(1-x)^{-1/2},$ como se detalla en las otras A.