Proyección $X\times_{\mathbb{Z}} Y\to X$ es suave para $X,Y$ variedades lisas.

Question

El producto de dos variedades proyectivas sobre $X,Y$ es el producto fibrado $X\times_{\mathbb{Z}} Y$ . Quiero demostrar que las proyecciones $X\times_{\mathbb{Z}} Y \to X$ y $X\times_{\mathbb{Z}} Y \to Y$ son suaves si $X,Y$ son suaves. Esto de alguna manera se me escapa. ¿Alguien puede ayudarme?

EDITAR: En primer lugar, me refiero a suavizar sobre un campo $k$ . En segundo lugar, para $S$ -Objetos $X\to S$ y $Y\to S$ el producto es el objeto $X\times_{S} Y$ . Por lo tanto, para $k$ -el producto es $X\times_{k} Y$ y no $X\times_{\mathbb{Z}} Y$ . Por lo tanto, el resultado se obtiene mediante el cambio de base, como se indica en la respuesta siguiente.

Answer 1

La suavidad se mantiene con el cambio de base.
Así que si $Y\to Spec(\mathbb Z)$ es suave (en otras palabras, si $Y$ es suave), también lo es $X\times_{\mathbb Z} Y\to X$ .
(La proyectividad y el ser variedades son irrelevantes).