Descripción explícita (¡imágenes!) de los elementos en $Mod_g[k]$ ?

Question

Esta pregunta es probablemente obvia para los expertos, pero no he podido encontrar la respuesta en la literatura...

Antecedentes: Consideremos el grupo de clases cartográficas $Mod_g$ del género cerrado $g$ superficie. Hay muchos conjuntos agradables de generadores (es decir, Humpreys famoso $2g+1$ Dehn tuerce o Conjunto generador de 2 elementos de Wajnryb etc.).

Si consideramos el grupo Torelli $\mathcal{I}_g = Mod_g[1]$ sabemos que está finitamente generada por mapas de pares delimitadores. D. Johnson demostró que el siguiente nivel en la filtración de Johnson $Mod_g[2]$ (ahora llamado núcleo de Johnson) está generado por giros de Dehn alrededor de curvas separadoras.

Mi pregunta:

1. ¿Existe una descripción explícita de elementos más profundos en el grupo de clases de asignación (es decir, en $Mod_g[k]$ con $k \geq 2$ )? O al menos ejemplos en forma de imágenes...
2. ¿Existe alguna caracterización conocida (incluso para valores especiales de $g$ y $k$ ) de dichos elementos?
3. Por último (siendo optimistas), ¿existe un grupo electrógeno conocido?

Answer 1

Se desconocen los generadores de los términos superiores en la filtración de Johnson.

Probablemente la mejor manera de encontrar elementos explícitos es utilizar el hecho de que la filtración de Johnson forma una filtración central, y por lo tanto el k-ésimo término de la serie central inferior del grupo de Torelli se encuentra en el k-ésimo término de la filtración de Johnson. Así, se pueden obtener elementos tomando conmutadores iterados de elementos del grupo de Torelli (por ejemplo, mapas de pares delimitadores o giros separadores). Desgraciadamente, se sabe que esto no dará conjuntos generadores; de hecho, Hain demostró en

R. Hain, Presentaciones infinitesimales de los grupos de Torelli, J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), no. 3, 597-651.

que la serie central inferior y las filtraciones de Johnson del grupo de Torelli no sólo son diferentes, sino que incluso definen topologías diferentes en el grupo de Torelli.

Hay algunas cosas que se saben sobre los grupos electrógenos para la filtración Johnson. Permítanme señalar tres de ellos.

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I. En mi ponencia

A. Putman, Small generating sets for the Torelli group, Geom. Topol. 16 (2012), no. 1, 111-125.

Construyo un conjunto generador para el grupo de Torelli que es mucho más pequeño que el conjunto generador de Johnson (su cardinalidad es de aproximadamente $c g^3$ para alguna constante $c$ mientras que la de Johnson es exponencial en el género; la abelianización tiene un rango del orden de $g^3$ así que esto es lo mejor que puedes hacer).

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II. En nuestro documento

T. Church & A. Putman, Generating the Johnson filtration, Geom. Topol. 19 (2015), no. 4, 2217-2255.

demostramos que para todo $k$ existe alguna $G_k$ tal que el k-ésimo término de la filtración de Johnson está generado por elementos apoyados en subsuperficies de género como máximo $G_k$ .

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III. Muy recientemente Ershov-He demostró que el subgrupo del núcleo de Johnson está finitamente generado para $g \geq 5$ . Ershov-He y Church-Putman lo ampliaron independientemente para demostrar que el k-ésimo término de la filtración de Johnson está finitamente generado siempre que el género sea suficientemente grande. Los artículos pertinentes son

M. Ershov & S. He, Sobre las propiedades de finitud de las filtraciones de Johnson, preprint 2017

y

T. Church & A. Putman, Generación de la filtración de Johnson II: generación finita, preprint 2017.

Pueden descargarse de la página web de Ershov aquí y de mi página web aquí . Los demás documentos de mi autoría que enumero más arriba también pueden descargarse de mi página web.