El mapa holomorfo con un punto fijo tiene un jacobiano con todos los valores propios en el disco unitario

Question

Supongamos que $U\subset \mathbb{C}^n$ es un dominio acotado y $f$ es un mapa holomorfo de $U$ a sí misma, de modo que $f(a)=a$ para algunos $a\in U$ . Demostrar que todos los valores propios $\lambda$ de $Df(a)$ se encuentran en el disco unitario.

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo empezar. Intentado por $n=2$ para simplificar, pero no sé a dónde ir de la complicada Jacobian. Al menos una pista es apreciada.

Answer 1

Desde $U$ está acotada, la familia $\{ f^k : k \in \mathbb{N}\}$ es una familia uniformemente acotada de mapas holomorfos. Por la fórmula integral de Cauchy se deduce que las familias de derivadas parciales

$$\left\{\frac{\partial(f^k)_i}{\partial z_j} : k \in \mathbb{N} \right\}$$

están localmente acotados de manera uniforme para todo $i,j$ . En particular, los componentes de $Df^k(a) = \bigl(Df(a)\bigr)^k$ están acotadas independientemente de $k$ . Por lo tanto, existe una constante $C$ tal que $\lvert\mu\rvert \leqslant C$ siempre que $\mu$ es un valor propio de algún $Df^k(a)$ . Puesto que para un valor propio $\lambda$ de $Df(a)$ , $\lambda^k$ es un valor propio de $Df^k(a)$ se deduce que $\lvert\lambda\rvert^k \leqslant C$ para todos $k$ y esto implica $\lvert\lambda\rvert \leqslant 1$ .

Por tanto, todos los valores propios de $Df(a)$ se encuentran en el disco unitario cerrado. Por supuesto, los valores propios de módulo $1$ son posibles (por ejemplo, para $f = \operatorname{id}_U$ ).