Pregunta de Schutz's

Question

En la pregunta 22 de la página 141, se me pide que demuestre que si

$$U^{\alpha}\nabla_{\alpha} V^{\beta} = W^{\beta},$$

entonces

$$U^{\alpha}\nabla_{\alpha}V_{\beta}=W_{\beta}.$$

Esto es lo que he hecho: $$V_{\beta}=g_{\beta \gamma} V^{\gamma},$$ así que $$U^{\alpha} \nabla_{\alpha} (g_{\beta \gamma} V^{\gamma})=U^{\alpha}(\nabla_{\alpha} g_{\beta \gamma}) V^{\gamma} + g_{\beta \gamma} (U^{\alpha} \nabla_{\alpha} V^{\gamma}).$$

Ahora, entiendo que el segundo término es $W_{\beta}$ ¿pero cómo es que el primer término desaparece?

Answer 1

La derivada covariante es compatible con la métrica, por lo que $\nabla_{\alpha} g_{\beta \gamma} = 0$ . Esta es la condición para que el producto interior se conserve bajo transporte paralelo.

Answer 2

No creo que necesites la compatibilidad métrica para demostrarlo aunque puedes usarla. Hay una manera mucho más simple con el uso repetido de (cualquier) métrica para bajar el índice.

$ U^\alpha\nabla_\alpha V^\beta=W^\beta $

$ \Rightarrow U^\alpha g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g^{\beta\gamma}V_\gamma $

$ \Rightarrow U^\alpha g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}V_\gamma $

$ \Rightarrow U^\alpha\delta_\mu^\gamma\nabla_\alpha V_\gamma=\delta_\mu^\gamma V_\gamma $

$ \Rightarrow U^\alpha\nabla_\alpha V_\mu=V_\mu $

hay tres maneras de hacer el primer paso, sólo una utiliza la compatibilidad métrica. Más información en https://www.general-relativity.net/2019/10/symmetries-and-killing-vectors.html