Prueba $\{f\in L^\infty : \|f\|_\infty \leq 1- \epsilon\}$ para $\epsilon\in (0, 1)$ es $w^*$ - cerrado

Question

Quiero demostrar la siguiente afirmación

Prueba $\{f\in L^\infty : \|f\|_\infty \leq 1- \epsilon\}$ para $\epsilon\in (0, 1)$ es $w^*$ - cerrado

He empezado:

supongamos que $f_n \xrightarrow{w^*}f$ por lo que tenemos $f_n(g) \to f(g)$ para todos $f\in L_1$ Icould'nt capaz de continuar desde aquí

Agradecemos cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Sea $r=1-\varepsilon$ . Sea $(f_j)_{j\in J}$ sea una red (*) en $L^{\infty}(\Omega)$ con $\|f_j\|_{\infty}\leq r$ y $f_j\rightharpoonup^* \bar{f}$ . Entonces tenemos $$\int_{\Omega} f_j g\to \int_{\Omega} \bar{f}g\qquad \forall g\in L^1(\Omega) \qquad (1)$$ Tenemos que demostrar que $\|\bar{f}\|_{\infty}\leq r$ . Supongamos por contradicción que esto es falso. Entonces existe un conjunto medible $E$ con medida positiva ( $|E|>0$ ) tal que $|\bar{f}|\geq r+\varepsilon$ en $E$ para algunos $\varepsilon>0$ . También podemos suponer que $E$ tiene medida finita (siempre que $\Omega$ es $\sigma$ -finito, que es una suposición bastante estándar).

Aplicar ahora $(1)$ con $g=\chi_E$ que se encuentra en $L^1(\Omega)$ porque $|E|<\infty$ . Desde $|f_j|\leq r$ a.e., tenemos $$r|E|\geq\int_E f_j\to \int_E \bar{f}\geq (r+\varepsilon)|E| $$ lo cual es una contradicción.

De todos modos, cabe señalar que en general

Sea $X$ sea un espacio normado. Entonces la bola cerrada de radio $r$ centrado en el origen $$ B_r:=\left\{f\in X^*:\|f\|\leq r\right\}$$ es débilmente estelar.

( $*$ ) Deberías usar redes porque la topología de estrella débil no es metrizable en general, a menos que por débilmente*-cerrada quieras decir secuencialmente débilmente-estrella cerrada. En este caso concreto, sin embargo, esto no es necesario, ya que puede demostrarse que la restricción a una bola cerrada de la topología de estrella débil en el dual de un espacio separable (y $L^{\infty}$ es el dual de $L^1$ que es separable) es metrizable, pero éste es un resultado más avanzado.