Fórmula de conexión de la función hipergeométrica 2F1

Question

Supongamos que tengo la función $_2F_1\left(a,b;c;x^2\right)$ con $a=\frac{3}{4}+\frac{k}{4}$ , $b=\frac{3}{4}-\frac{k}{4}$ y $c=\frac{1}{2}$ . Quiero conocer el comportamiento sobre $x=1.\,$ Voy a Ecuación DLMF 15.10.21 y elija $$ w_1\left(x^2\right) = {\frac {\Gamma \left( c \right) \Gamma \left( c-a-b \right)}{ \Gamma \left( c-a \right) \Gamma \left( c-b \right) }} \, w_3\left(x^2\right) +{\frac {\Gamma \left( c \right) \Gamma \left( a+b-c \right)}{\Gamma \left( a \right) \Gamma \left( b \right) }} \, w_4\left(x^2\right). $$ Desde $w_4$ es singular en $x=1$ (y debería ser finito) esperaba esta típica restricción de que $a$ o $b$ debe haber algún $n\leq 0 \in \mathbb{Z}$ para que el segundo término desaparezca. Ahora el primer término tiene $\Gamma(-1)$ . ¿Es eso un problema o puedo absorberlo en una constante? Sin embargo, si lo hago, entonces la función original $w_1$ no está realmente definido. ¿Significa esto que la solución no es válida a menos que $k=3$ ?

PD: En realidad si $k=4n+3$ $(n\geq 0)$ entonces el segundo término desaparece y en el primero los polos se cancelan?

Answer 1

Lo primero que hay que observar es que la ecuación es simétrica en $\, a,b \,$ que proviene de cambiar $\, k \,$ a $\, -k. \,$ Así, sin pérdida de generalidad supongamos que $\, k\ge 0. \,$ Definamos algunos términos: $\, f_3 := (\Gamma(c)\Gamma(c-a-b))/(\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)), \quad f_4 := (\Gamma(c)\Gamma(a+b-c))/(\Gamma(a)\Gamma(b)) $ que se multiplican por $\, w_3(z) \,$ y $\, w_4(z) \,$ respectivamente. La ecuación es $\, w_1(z) = w_3(z) f_3 + w_4(z) f_4. \,$ Tenga en cuenta que también añada $\,\epsilon\,$ a $\,a\,$ para sondear la sensibilidad a los parámetros. Nos interesan los valores de las funciones en $\, z=1. \,$ Para todos los números enteros $\, k, \,$ tenemos $\, w_3(1) = 1. \,$ Tenemos los casos:

• Si $\, k \,$ es par, $\, w_1 \,$ tiene un polo en $\,z=1,\,$ pero el factor $\, f_3 \,$ tiene un $\, \epsilon \,$ poste, y $\, w_4 \,$ tiene un $\, \epsilon \,$ polo, pero su factor $\, f_4 \,$ es finito.

• Si $\, k=1 \,$ entonces ambos $\, w_1 \,$ y $\, w_4 \,$ tener un $\, z=1 \,$ poste mientras $\, f_3 = 0. \,$

• Si $\, k>1 \,$ y $\, k=4n+1 \,$ entonces $\, w_1 \,$ tiene un polo en $\,z=1,\,$ mientras que $\, f_3 \,$ tiene un $\, \epsilon \,$ poste, y $\, w_4 \,$ tiene un $\, \epsilon \,$ poste mientras $\, f_4 \,$ es finito.

• Si $\, k = 4n+3, \,$ entonces $\, w_1, w_3, f_3 \,$ son todas finitas, mientras que $\, f_4 = 0 \,$ pero $\, w_4 \,$ tiene un $\, z=1 \,$ poste y un $\, \epsilon \,$ poste. Tenga en cuenta que $\, w_1(z) \,$ es un polinomio en $\, z \,$ con $\, w_1(1) = 1. \,$

Answer 2

Sea $$F(x) = {_2F_1}\left( \frac {3+k} 4, \frac {3-k} 4; \frac 1 2; x \right), \quad k \geq 0.$$ Si $(3-k)/4$ es un número entero, $F(x)$ se convierte en un polinomio y tenemos $$F(x) = F(1) + O(|1-x|) = \frac {(-1)^{(k-3)/4} \sqrt \pi \,\Gamma \left( \frac {k+5} 4 \right)} {\Gamma \left( \frac {k-1} 4 \right)} + O(|1-x|).$$ En caso contrario, se trata del caso logarítmico, cuyas fórmulas se pueden encontrar aquí . El primer término es $$F(x) = \frac {\sqrt \pi} {\Gamma\left( \frac {3+k} 4 \right) \Gamma\left( \frac {3-k} 4 \right) (1-x)} + O(|\!\ln(1-x)|).$$