Demostrar algunos hechos básicos sobre integrales

Question

Sea $f$ , $g$ sean funciones integrables de Riemann en el intervalo $[a,b]$ es decir $f,g \in \mathscr{R}([a,b])$ .

(i) $\int_{a}^{b} (cf+g)^2\geq 0$ para todos $c \in \mathbb{R}$ .
(ii) $2|\int_{a}^{b}fg|\leq c \int_{a}^{b} f^2+\frac{1}{c}\int_{a}^{b} g^2$ para todos $c \in \mathbb{R}^+$

No tengo una respuesta completa para ninguno de los dos casos, pero tengo algunas ideas.

Para (i) $\int_{a}^{b} (cf+g)^2=\int_{a}^{b}c^2f^2+2cfg+g^2=c^2\int_{a}^{b}f^2+c\int_{a}^{b}2fg+\int_{a}^{b}g^2$ . El primer tercio es positivo porque si $c <0$ entonces $c^2>0$ . No estoy seguro del tercio medio. El tercio final es positivo.

Me he dado cuenta de que si puedo resolver (i)... (ii) se deduce de algunos reordenamientos.

Answer 1

Asumiré que las funciones son de valor real. Para el primer punto, usaré que si una función R-integrable $h$ es no negativo en $[a,b]$ entonces $\int_a^bh(x)dx\geq 0$ . Para el segundo punto, utilizaré que si $h(x)\leq k(x)$ en $[a,b]$ entonces $\int_a^bh(x)dx\leq \int_a^bk(x)dx$ . Obsérvese que esta última se deduce fácilmente de la primera por linealidad de la integral.

1) Tenemos $(cf(x)+g(x))^2\geq 0$ para todos $x\in [a,b]$ Así que $\int_a^b(cf(x)+g(x))^2dx\geq 0$ .

2) Recordemos que $2|ab|\leq a^2+b^2$ para cada $a,b\in\mathbb{R}$ . Con $a=\sqrt{c}f(x)$ y $b=g(x)/\sqrt{c}$ Esto da como resultado $$ 2|f(x)g(x)|\leq cf(x)^2+\frac{1}{c}g(x)^2 $$ en $[a,b]$ . Por lo tanto $$ 2\int_a^b|f(x)g(x)|dx\leq c\int_a^bf(x)^2dx+\frac{1}{c}\int_a^bg(x)^2dx. $$ Por último, tenemos $|\int_a^bf(x)g(x)dx|\leq \int_a^b|f(x)g(x)|dx$ de ahí la segunda desigualdad.

Nota: Como has dicho, también puedes deducir 2) de 1) directamente expandiendo $(cf+g)^2$ y dividiendo por $c$ . Pero $2|ab|\leq a^2+b^2$ es tan útil que no he podido resistirme a mencionarlo.