Demostración del teorema de Legendre sobre la forma cuadrática ternaria

Question

Teorema (Legendre): Sea $a,b,c$ enteros positivos coprimos, entonces $ax^2 + by^2 = cz^2$ tiene una solución no trivial en racionales $x,y,z$ si $\left(\frac{-bc}{a}\right)=\left(\frac{-ac}{b}\right)=\left(\frac{ab}{c}\right)=1$ .

Intento demostrar este teorema utilizando

Lema Teorema del cuadrado global modificado: El número racional $cz$ es un $c$ veces un cuadrado si es $c$ veces un cuadrado en $\mathbb{Q}_p$ para cada primo $p$ .

Hasta ahora, es posible demostrar que la ecuación puede resolverse localmente para todas las potencias primos excepto $2^r$ :

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Para resolver esta ecuación $\pmod {abc}$ sólo hay que poner $x = bc$ , $y = ac$ , $z = ab$ . Reduciendo esto se obtiene una solución para cada primo impar $p | abc$ . Hensel lo eleva a $\mathbb{Q}_p$ .

Si un impar prime $p \not| abc$ entonces pon $z = 1$ de modo que tenemos $ax^2 \equiv c - by^2 \pmod p$ , $x$ y $y$ puede asumir $(p+1)/2$ por lo que deben tener una intersección que resuelva esta congruencia. Hensel la eleva a $\mathbb{Q}_p$ otra vez.

Es fácil de resolver cuando $p=2$ pero creo que $p=4$ debe hacerse para que Hensel lo solicite.

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Mi pregunta es ¿cómo sacar un número racional de esto, para poder aplicar el teorema del cuadrado global y concluir? Parece que el $p$ -los números arábigos tienen que tener una expansión finita, pero eso parece tan difícil de demostrar como cualquier otra cosa. También si alguien tiene una pista para el $2^r$ ¡caso eso también sería genial! Muchas gracias.

Answer 1

Mejor enlace sobre solvencia $ax^2+by^2=cz^2$ es un capítulo 2 del libro
K. Kato, N. Kurokawa, T. Sato Teoría de números 1