Demostrar que una función en un espacio de medida no converge en medida

Question

Sea $(X, \mathbb{X}, \mu)$ sea un espacio de medidas. Una secuencia de funciones medibles de valor real $(f_n)$ se dice que convergen en medida a una función medible de valor real $f$ si

$$\lim_{n\to \infty}\mu(\{x\in X:|f_n(x) - f(x)|\ge \alpha\})=0$$

para todos $\alpha>0$ .

Tengo que demostrar que $f_n = \chi_{[n,n+1]}$ converge puntualmente a $f=0$ y que no converge en medida.

He demostrado que sí converge puntualmente pero no sé cómo demostrar que no converge en medida a ninguna función.

Si converge en medida entonces debe converger en medida a $f=0$ ? Si es así, suponiendo que converja en medida, para $\alpha=1$ y $n\in\mathbb{N}$ , $\mu(\{x\in X:|f_n(x) - f(x)|\ge \alpha\}) = \mu(\{x\in X:\chi_{[n,n+1]}(x)\ge 1\})=\mu([n,n+1])=1$ (estoy suponiendo medida de Lebesgue), una contradicción.

Pero me cuesta demostrar esta suposición.

Answer 1

En primer lugar, empezamos diciendo que suponemos que $f_n$ converge en medida a alguna función $f$ .

Arreglar algunos $R>0$ entonces tenemos para $n>R$ y cada $\alpha >0$ $$ \mu(\{ x \in X \ : \ \vert f_n(x) - f(x) \vert \geq \alpha \}) \geq \mu(\{ x \in [-R,R] \ : \ \vert f_n(x) - f(x) \vert \geq \alpha \}) = \mu(\{ x\in [-R,R] \ : \ \vert f(x) \vert \geq \alpha \}). $$ Sin embargo, la RHS es independiente de $n$ y el LHS va a cero, por lo tanto, obtenemos $$ \mu(\{ x\in [-R,R] \ : \ \vert f(x) \vert \geq \alpha \}) =0 $$ para cada $\alpha >0$ . Esto implica que $f=0$ a.e. en $[-R,R]$ como hemos $$ \mu(\{ x\in [-R,R] \ : \ \vert f(x) \vert \neq 0 \}) = \mu( \bigcup_{m\geq \mathbb{N}_{\geq 1}}\{ x\in [-R,R] \ : \ \vert f(x) \vert \geq 1/m \}) = \lim_{m\rightarrow \infty} \mu( \{ x\in [-R,R] \ : \ \vert f(x) \vert \geq 1/m \}) = \lim_{m\rightarrow \infty} 0 =0. $$ Sin embargo, $R>0$ era arbitraria, por lo que obtenemos que $f=0$ a.e.