Calcule $e^{i \pi}$ y $ e^{i \pi /2}$ dado que $2 \pi$ es el real más pequeño $>0$ tal que $e^{2\pi i} = 1$ .

Question

Calcule $e^{i \pi}$ y $ e^{i \pi /2}$ dado que $2 \pi$ es el real más pequeño $>0$ tal que $e^{2\pi i} = 1$ .

He hecho una parte como:

Desde $(e^{i \pi})^2 = e^{2\pi i} = 1$ tenemos $e^{i \pi} = +1$ o $-1$ pero no puede ser $+1$ como $2 \pi$ es el real más pequeño $>0$ tal que $e^{2\pi i} = 1$ así que $e^{i \pi} = -1$ .

Pero cómo hacer la segunda parte. Gracias.

Answer 1

Si tenemos $\left(e^{i\pi/2}\right)^2=e^{\pi i}=-1$ entonces sabemos que $e^{i\pi/2}=\pm i$ .

No hay algebraico manera de determinar si $e^{i\pi/2}$ es $i$ o $-i$ ya que sólo utilizamos $\left(e^{i\pi/2}\right)^2=-1$ para definir $e^{i\pi/2}$ . El culpable aquí es el automorfismo de $\mathbb{C}$ que intercambia $i$ y $-i$ (véase esta respuesta ).

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Para hacer $e^z$ complejo diferenciable, debemos tener $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{e^{i\pi/n}-1}{i\pi/n} &=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}e^z\,\right|_{\,z=0}\\ &=1 \end{align} $$ Así, $e^{i\pi/n}=1+\frac{i\pi}n+o\!\left(\frac1n\right)$ que coloca $e^{i\pi/n}$ en el cuadrante $1$ .

Entonces, usando trigonometría, y definiendo $e^{ix}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}n\right)^n$ podemos utilizar el método de esta respuesta para demostrar que $$ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $$ que muestra que $e^{i\pi/2}=i$ .