Comprender la informática cuántica basada en mediciones

Question

Actualmente estoy leyendo la reseña de M. A. Nielsen sobre Computación cuántica en clústeres (Nielsen, Michael A. "Computación cuántica en estado de clúster". Informes sobre Física Matemática 57.1 (2006): 147-161.).

Mi primera pregunta se refiere a la salida de un teletransporte de un bit, el circuito (11) del artículo:

Dónde $|\psi \rangle=\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ y $|+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{2}.$

• No veo por qué el resultado después de la fase controlada y Hadamrad es igual a: $$\alpha |++\rangle + \beta |--\rangle = (|0\rangle \otimes H|\psi\rangle+|1\rangle \otimes XH|\psi\rangle)/\sqrt{2}$$

• ¿Por qué $X^m H|\psi \rangle$ ¿la salida del primer qubit?

• Creo que si entiendo lo anterior podré ver por qué la salida del siguiente estado del cluster es $X^{m_2} HZ_{\pm \alpha 2} X^{m_1}HZ_{\alpha 1}|+\rangle$ donde $m_1$ y $m_2$ son las salidas de las mediciones del primer y segundo qubit en los circuitos de abajo:

Circuito (14) del artículo de Nielsen:

equivalentemente como: (circuito 15):

Gracias por cualquier aclaración que pueda ofrecer.

Answer 1

• Por qué el resultado después de la fase controlada y Hadamrad es igual a: $$\alpha |++\rangle + \beta |--\rangle = (|0\rangle \otimes H|\psi\rangle+|1\rangle \otimes XH|\psi\rangle)/\sqrt{2}$$

Rotulemos los qubits $A$ y $B$ para mayor claridad. El estado inicial del circuito (11) es $$ |\psi_A \rangle \otimes |+_B\rangle = \left( \alpha |0_A\rangle + \beta |1_A\rangle \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0_B\rangle + |1_B\rangle\right) $$ que se expande como $$ |\psi_A \rangle \otimes |+_B\rangle = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} |0_A 0_B \rangle + \frac{\alpha}{\sqrt{2}} |0_A 1_B \rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}} |1_A 0_B \rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}} |1_A 1_B \rangle $$ La razón por la que necesitamos ampliar es porque la puerta de fase controlada se define en los estados base $|0_A 0_B \rangle$ , $|1_A 0_B \rangle$ , $|1_A 0_B \rangle$ , $|1_A 1_B \rangle$ como $|xy\rangle \rightarrow (-1)^{xy}|xy\rangle$ . Por lo que su acción sobre el estado inicial produce $$ |\Phi_{AB}\rangle = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} |0_A 0_B \rangle + \frac{\alpha}{\sqrt{2}} |0_A 1_B \rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}} |1_A 0_B \rangle - \frac{\beta}{\sqrt{2}} |1_A 1_B \rangle = \\ = \alpha \;|0_A +_B \rangle + \beta \;|1_A -_B \rangle $$ La puerta Hadamard posterior en el qubit $A$ actúa como $H_A |0_A\rangle = |+_A\rangle$ y $H_A |1_A\rangle = |-_A\rangle$ para dar el estado de salida $$ |\Psi_{AB}\rangle = H_A|\Phi_{AB}\rangle = \alpha \;|+_A +_B \rangle + \beta \;|-_A -_B \rangle $$ Lo que necesitamos ahora es expresar $|\Psi_{AB}\rangle$ de una manera que nos permite ver lo que sucede con el estado del qubit $B$ tras una medición en el qubit $A$ en la base canónica $|0_A\rangle$ , $|1_A\rangle$ . Es decir, tenemos que reescribir $$ |\Psi_{AB}\rangle = |0_A \rangle \otimes |\sigma_B \rangle + |1_A \rangle \otimes |\omega_B \rangle $$ Un poco de álgebra nos da: $$ |\Psi_{AB} \rangle = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \left( |0_A\rangle + |1_A\rangle \right) \otimes |+_B \rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( |0_A\rangle - |1_A\rangle \right) \otimes |-_B \rangle = \\ = |0_A\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha\; |+_B\rangle + \beta \;|-_B\rangle \right) + |1_A\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha\; |+_B\rangle - \beta\; |-_B\rangle \right) = |0_A \rangle \otimes |\sigma_B \rangle + |1_A \rangle \otimes |\omega_B\rangle $$ Pero lo que preferimos es alguna relación entre los estados $|\sigma_B\rangle$ , $|\omega_B\rangle$ de qubit $B$ y el estado inicial $|\psi\rangle$ de qubit $A$ . Para ello, recordemos que una puerta Hadamard sobre qubit $B$ actúa como $H_B |0_B\rangle = |+_B\rangle$ y $H_B |1_B\rangle = |-_B\rangle$ . Podemos utilizar esto para reescribir $|\sigma_B\rangle$ como $$ |\sigma_B \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha \;|+_B\rangle + \beta \;|-_B\rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha \; H_B|0_B\rangle + \beta \;H_B|1_B\rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} H_B |\psi_B \rangle $$ En cuanto a $|\omega_B\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha\; |+_B\rangle - \beta\; |-_B\rangle \right)$ eliminemos el signo negativo recordando que los estados $|\pm\rangle$ son estados propios de la puerta $X$ tal que $X_B |+_B\rangle = |+_B\rangle$ y $X_B |-_B\rangle = -|-_B\rangle$ . Esto significa que tenemos $$ |\omega_B\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha\; |+_B\rangle - \beta\; |-_B\rangle \right) = X_B \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha\; |+_B\rangle + \beta\; |-_B\rangle \right) = X_B |\sigma_B \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} X_B H_B |\psi_B\rangle $$ y la forma final del estado de salida es $$ |\Psi_{AB} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0_A \rangle \otimes H_B |\psi_B \rangle + |1_A \rangle \otimes X_B H_B |\psi_B\rangle\right) $$

• ¿Por qué $X^m H|\psi \rangle$ ¿la salida del primer qubit?

En realidad, el estado de salida antes de la medición en el qubit $A$ es simétrico respecto a los qubits $A$ y $B$ así que puede reescribirlo como $$ |\Psi_{AB} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( H_A |\psi_A \rangle \otimes |0_B \rangle + X_A H_A |\psi_A\rangle \otimes |1_B \rangle \right) $$ Pero esta forma no puede decirnos mucho sobre el estado de $B$ después de la medición en $A$ . La forma en que presenta la información es inútil.

• El estado del clúster : Debería funcionar de forma similar. Intenta dividir todo en pasos elementales hasta que te acostumbres a los patrones.