¿Cómo se relacionan estas dos formas de concebir el producto cruzado?

Question

Siempre me ha molestado la definición del producto cruzado que se da, por ejemplo, en un curso de cálculo, porque nunca se aclara cómo se define el producto cruzado sin coordenadas. Ahora sé, no una, sino dos formas de hacerlo, y no acabo de ver cómo están relacionadas:

• El producto cruzado es el soporte de Lie en el álgebra de Lie de $\text{SO}(3)$ .
• El producto cruzado es el mapa estelar de Hodge $\Lambda^2(V) \to V$ donde $V$ es un orientado $3$ -espacio de producto interno real.

Vale, aquí hay una relación obvia: $V$ tiene grupo de automorfismo $\text{SO}(3)$ . Pero, por alguna razón, no sé por dónde empezar. Un buen punto de partida sería exhibir un isomorfismo canónico entre un orientado $3$ -espacio de producto interno $V$ y el álgebra de Lie de $\text{Aut}(V)$ . Tal vez esto sea obvio. En cualquier caso, agradecería alguna aclaración.

Answer 1

Para ampliar el comentario de Victork Protsak, si $V$ es un $n$ -espacio vectorial real dimensional con producto interno, el producto interno da un isomorfismo $V\to V^*$ y por lo tanto $V\otimes V \to \mathrm{End}(V)$ . Bajo este isomorfismo, $\Lambda^2(V)$ se identifica con endomorfismos conjuntos sesgados de $V$ que es precisamente el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(V)$ .

En el caso $\dim V =3,$ la estrella de Hodge da un isomorfismo $\Lambda^2(V) \to V$ y así en total vemos que $V$ es canónicamente isomorfo a $\mathfrak{so}(V)$ . Una forma más directa de ver este isomorfismo es enviar el vector $v \in V$ al generador de la rotación a la derecha alrededor del eje en la dirección de $v$ con velocidad $|v|$ .

El uso de la expresión "diestro" deja claro que para identificar $V$ y $\mathfrak{so}(V)$ hemos utilizado una orientación en $V$ Efectivamente, lo necesitas para la estrella de Hodge. Lo interesante es que si se invierte la orientación en $V$ el mapa a $\mathfrak{so}(V)$ cambia de signo. Esto significa que cualquiera que sea la orientación elegida en $V$ el impulso hacia $\mathfrak{so}(V)$ es el mismo. Conclusión: $\mathfrak{so}(3)$ es orientado naturalmente . Esto es análogo a la orientación natural en $\mathbb{C}$ . Una forma más prosaica de describir la orientación es elegir dos elementos independientes $x,y \in \mathfrak{so}(3)$ y, a continuación, utilice $[x,y]$ completarlos a una base orientada. (Por supuesto, luego hay que comprobar que esto no depende de su elección de $x,y$ .)

Answer 2

Sea $\varepsilon( )$ sea la forma del volumen en $\mathbb R^3$ . Para vectores dados ${\bf p}$ y ${\bf q}$ la función $f:{\bf x}\mapsto\varepsilon({\bf p},{\bf q},{\bf x})$ es una función lineal y se representa por un vector ${\bf r}\in\mathbb R^3$ es decir, se tiene $f({\bf x})=\langle{\bf r},{\bf x}\rangle$ . Este vector ${\bf r}$ depende de forma bilineal sesgada de ${\bf p}$ y ${\bf q}$ y se denomina $vector\ product$ de ${\bf p}$ y ${\bf q}$ .

Answer 3

El álgebra geométrica (Clifford) proporciona otra forma de entender el producto cruzado. Si un vector representa un subespacio 1D que contiene el origen, el producto cuña (exterior) es una forma bilineal sobre 2 vectores ( $a \wedge b$ ) que representa el subespacio que contiene ambos vectores. El vector tiene base $e_1, e_2, ..., e_n$ ( $n$ elementos), por lo que el producto cuña tiene base $e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_3, \ldots, e_{n-1}\wedge e_n$ ( $\binom{n}{2}$ elementos). El producto cruzado es una forma de representar este subespacio (utilizando su dual, el vector normal). Esto sólo funciona para 3D, donde los tamaños de las bases coinciden, utilizando $e_1 e_2 \to e_3,\, e_2 e_3 \to e_1,\, e_3 e_1 \to e_2$ .