Sea $a_0>0$ . Si $a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$ . Demuestre que la secuencia $a_n$ converge.

Question

Sea $a_0>0$ . Si $a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$ . Demuestre que la secuencia $a_n$ converge.

Es obvio que la secuencia está limitada por $1$ pero no puedo demostrar que es monotónica. Traté de empezar con diferentes valores, y luego a veces es cada vez mayor, y, a veces es cada vez menor. Por lo tanto, traté de usar otra manera de acercarse a la siguiente observación: $$ |a_{n+1}-a_n|=|\frac{1}{1+a_n}-\frac{1}{1+a_{n-1}}| = \frac{|a_n-a_{n-1}|}{|1+a_{n}||1+a_{n-1}|}. $$ Por lo tanto, observamos que se trata de una cartografía de contracción. Si conocemos $$ |a_{n+1}-a_{n}|<k|a_n-a_{n-1}| $$ para algunos $k<1$ entonces podemos deducir que la secuencia converge. Sin embargo, no puedo tener una buena estimación para el término $|1+a_n+a_{n-1}+a_{n}a_{n-1}|$ y sólo obtendrá $$ |a_{n+1}-a_n|<|a_n-a_{n-1}|, $$ lo cual no es suficiente. ¿Puede alguien darme alguna idea para solucionar esto? Gracias.

Answer 1

Demostramos que la secuencia converge al único número positivo $L$ tal que $L = \frac{1}{1+L}$ [tal $L$ puede resolverse mediante la fórmula cuadrática]. En efecto, obsérvese que para cualquier $n \in \mathbb N$ , \begin{align*} \lvert a_{n+1} - L \rvert &= \left\lvert \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+L} \right \rvert\\ &= \left\lvert \frac{1+L -(1+a_{n})}{(1+L)(1+a_n)} \right \rvert \\ &\le \frac{1}{1+L} \lvert a_n - L\rvert. \end{align*} Aplicando recursivamente este límite encontramos que $$\lvert a_{n+1} - L \rvert \le\frac{1}{(1+L)^{n+1}} \lvert a_0 - L\rvert $$ por lo que el envío $n \to \infty$ muestra que $a_n \to L$ .