probabilidad de tener un número infinito de primos

Question

Estoy leyendo MATH PUZZLES Vol. 3 by PRESH TALWALKAR . En concreto, si hay infinitos números primos en el conjunto {2,5,8,11,...} .

Supongamos $a,b \in \mathbb{Z}^+$ y tenemos un conjunto $\mathbb{A} = \{a,a+b,a+2b,...\}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un número infinito de primos?

Por ejemplo, si $a,b \in [1,2]$ entonces $ p = \frac{3}{4}$ . Me preguntaba si esta probabilidad converge a medida que se amplía el alcance.

Answer 1

Si $(a,b)=1$ entonces por el teorema de Dirichlet de infinitud de primos en una progresión aritmética, la secuencia tiene infinitos primos, y si $(a,b)\neq 1$ entonces, por supuesto, la secuencia tiene un número finito de primos como la secuencia es cada vez mayor y todos sus términos será divisible por el GCD, por lo tanto, su pregunta se reduce a, ¿cuál es la probabilidad de que si dos números naturales elegidos al azar son co-prime.

Es un problema famoso y la respuesta es $6/\pi^2$ .