Igualdad de los problemas de optimización de la SVM de margen suave (desplazamiento de la restricción a la función objetivo)

Question

Estoy leyendo la derivación del problema de optimización de SVM de margen suave en Elements of Statistical learning. En él, los autores afirman que $$\begin{align} \min_{} \quad & \| \mathbf{w}\| \\ \text{s.t.} \quad & y_i(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_i}+b) \geq (1-\epsilon_i) \\ \quad & \epsilon_i \geq 0 \quad \forall i \\ \quad & \sum_{i=1}^m\epsilon_i \leq C\\ \ \end{align}$$

(que es la ecuación 12.7 del libro) es igual a esto $$\begin{align} \min_{b, \mathbf{w}, \mathbf{\epsilon}} \quad & \frac{1}{2}\| \mathbf{w}\|^2 + C\sum_{i=1}^m\epsilon_i \\ \text{s.t.} \quad & y_i(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_i}+b) \geq 1-\epsilon_i \\ \quad & \epsilon_i \geq 0 \quad \forall i \end{align}$$

(que es la ecuación 12.8 del libro).

Mi pregunta es cómo se puede mover la restricción $\sum_{i=1}^m\epsilon_i \leq C$ a la función objetivo de esta manera?

Answer 1

Tiene razón en su sospecha: no puede. Pero, creo que la confusión proviene de que citas mal a los autores. En (12.7) no utilizan