Transitiva Relaciones

Question

Por ejemplo, $$R = \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \} \quad\text{for}\quad A = \{1,2,3\}.$$

Esta relación es simétrica y transitiva.

Entiendo que la relación es simétrica, pero mi cerebro no tiene un concepto claro de cómo esta es transitiva. En primer lugar, este es simétrica porque no es $(1,2) \to (2,1)$.

Sin embargo, para transitiva, no es$(1,1)$$(1,2)$, pero no hay un "otro" $(1,2)$ en la relación técnicamente o que $(1,2)$ implica la misma cosa? Así, por ejemplo, $(1,1)\land (1,2)\to (1,2)$? Es por este motivo no es transitiva?

Answer 1

No es necesario tener varias copias de el par ordenado para satisfacer la transitividad (de hecho, no debería ser, ya que una relación es un conjunto).

Transitividad requiere que los si $(a,b)$ $(b,c)$ están presentes en la relación, entonces es $(a,c)$. El hecho de que $a = b$ en tu ejemplo no cambia eso. Sólo tiene que notar que $(1,1)$ está presente y $(1,2)$ está presente, por lo que la transitividad de las demandas que $(1,2)$ estar presente. Usted ya ha notado su presencia en la relación, así que no hay nada que comprobar.

Answer 2

En su relación, R, $1\to2$$2 \to 1$. Es decir, $1 \sim 2 \sim 1$. Nota:$(1, 1)\in R$. Alternativamente, $2 \to 1 \to 2$; es decir,$2 \sim 1 \sim 2.$$(2, 2) \in R$.

No existen otras relaciones que preocuparse, ya que, después de haber establecido la relación es reflexiva, tenemos $(1, 1)$, a partir de la cual es evidente que $1\sim 1 \sim 1$ $(2,2)$ es evidente que $2 \sim 2\sim 2$.

La relación $R$ por lo tanto es transitiva.

Answer 3

OK a ver aquí, llamamos a una relación R transitiva si $(a,b)\in R$$(b,c)\in R$$(a,c)\in R$. Es decir, si una relativa a la $b$, vamos a buscar la si $b$ tránsito de cualquier otro elemento $c$, a continuación, sólo vamos a comprobar si $a$ relacionado a $c$ si $b$ no de tránsito por defecto considerar como transitivo. Ahora en su ejemplo, $1$ relacionado a $1$ $1$ tránsito ningún otro elemento. Por lo que no habrá transición de la $1$ a cualquier otro elemento excepto $1$. Por lo tanto su relación es transitiva. @ Uddhav

Answer 4

La repetición no importa. no podemos repetir si una relación ya está presente.en este ejemplo (1,2),(2,2),(1,1) está presente por lo que es transitiva de la relación.