Pregunta en la demostración del teorema del mapa abierto

Question

¿Por qué la cartografía $\tilde A: X/N \to Y,\ \tilde A(x+N)=A(x)$ uno a uno (inyectiva) y onto (sobreyectiva)?

$A$ es un mapa lineal continuo de un espacio F $X$ a un espacio vectorial topológico $Y$ y $A(X)$ es la segunda categoría en $Y$ .

Claramente es suryectiva porque hemos demostrado que $A(X)=Y$ y por lo tanto $A$ es suryectiva. Pero no entiendo por qué $\tilde A$ es inyectiva.

Answer 1

$\tilde {A} (x+N)=\tilde {A} (y+N)$ implica que $Ax=Ay$ Así que $x-y \in N$ . Esto implica que $x+N=y+N$ .

Answer 2

Porque \begin{align}\tilde A(x+N)=\tilde A(y+N)&\iff A(x)=A(y)\\&\iff A(x-y)=0\\&\iff x-y\in N\\&\iff x+N=y+N.\end{align}