Sea $ f:(A, \cdot) \to (B, \ast) $ y $g:(B,\ast) \to (C,\times)$ sean mapas que preserven la operación. Entonces debo demostrar que $ g \circ f$ también es un mapa que preserva las operaciones. Esto es lo que tengo hasta ahora: Desde $f$ es un homomorfismo $(A, \cdot)$ y $(B, \ast)$ son grupos y $ f(x \cdot y)=f(x)\ast f(y)$ Desde $(C,\times)$ es un grupo así que $g(f(x)\ast (f(y))=g(f(x)) \times g(f(y))$ . Por lo tanto $ g\circ f$ es homomórfico.
Respuesta
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La composición, para ser "preservadora de la operación", debe cumplir $$(g \circ f)(x \cdot y) = g(f(x\cdot y)) = (g \circ f)(x) \times (g \circ f)(y).$$
Desde $f$ preserva la operación $\cdot$ tenemos $g(f(x\cdot y) = g(f(x) \ast f(y))$ donde $f(x)$ y $f(y)$ son elementos de $B$ y puesto que $g$ preserva la operación $\ast$ obtenemos $g(f(x) \ast f(y)) = g(f(x)) \times g(f(y))$ y ya está.
