¿Qué significa que una serie de potencias esté "definida" en este contexto?

Question

La siguiente captura de pantalla está tomada de unas notas de clase sobre combinatoria y analiza las posibles formas de expresar una serie de potencias

donde $(5.2)$ se refiere a la serie de potencias dada por la expansión de $$(1+x+x^2+\dots)(1+x^2+x^4+\dots)$$

Como se indica en la captura de pantalla, $f(x)$ y $g(x)$ convergerá si $|x| < 1$ . ¿Significa esto que la expansión $(5.2)$ sólo se define para $|x| < 1$ ?

Un poco más adelante, en las notas de clase, se dice lo siguiente:

Sin embargo, Wikipedia dice que

En matemáticas, el radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del mayor disco en el que converge la serie. Es un número real no negativo o $\infty$ .

Entonces, ¿qué significa en mis notas de clase cuando dice " Si [la serie de potencias] tiene un radio de convergencia positivo..."? ¿Seguro que esto se da por supuesto, basándose en la definición de Wikipedia?

Answer 1

Dadas dos series formales con coeficientes en un anillo conmutativo $\mathbb{A}$ (como $\mathbb{C}$ ),

$$f = \sum_{n\geq0}a_nX^n \ , \ g = \sum_{n\geq0}b_nX^n \in \mathbb{A}[[X]]$$

se puede definir su producto como el producto de Cauchy,

$$fg = \sum_{n\geq0}(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k})X^n$$

Ahora bien, si $\mathbb{A} = \mathbb{C}$ y vemos cada serie como la función compleja que definen, $f$ y $g$ converger sobre algún conjunto no implica que el producto converja, y por tanto (como función) $fg$ sólo estará definida si la serie del producto de Cauchy de $f$ y $g$ es efectivamente convergente en algún disco, y esa es la aclaración que se hace en el texto.

Answer 2

Si $f$ y $g$ son analíticos en dominios $\Omega_f$ , $\Omega_g$ que contiene el origen, entonces la función $$h(z):=f(z)\>g(z)$$ es analítica al menos en la intersección $\Omega_f\cap\Omega_g$ . Si además $$f(z)=\sum_{j=0}^\infty a_j z^j\quad\bigl(|z|<\rho_f\bigr),\qquad g(z)=\sum_{k=0}^\infty b_k z^k\quad\bigl(|z|<\rho_g\bigr)$$ entonces $$h(z)=\sum_{r=0}^\infty c_r z^r\qquad\bigl(|z|<\min\{\rho_f,\rho_g\}\bigr)\ ,$$ mediante $$c_r:=\sum_{k=0}^r a_{r-k}b_k\ .$$